جواب کار در کلاس صفحه ۷۳ هندسه 3

توضیح خواندن شکل: مختصات بردارها را از روی شبکهٔ دستگاه مختصات می‌خوانیم. با توجه به شکل:

\[\vec{a}=(3.5,\,2),\quad \vec{b}=(-1,\,2),\quad \vec{c}=(-1,\,-2),\quad \vec{d}=(2,\,-2)\]

الف) با استفاده از رابطهٔ جمع دو بردار:

\[\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,\ a_2+b_2)=(3.5+(-1),\ 2+2)=(2.5,\ 4)\]

بردار \(\vec{a}+\vec{b}\) را از مبدأ به نقطهٔ \((2.5,4)\) رسم می‌کنیم.

ب) قرینهٔ یک بردار با ضرب کردن مؤلفه‌ها در \(-1\) به دست می‌آید: \(-\vec{a}=(-a_1,-a_2)\).

\[-\vec{b}=-(-1,2)=(1,\,-2)\]
\[-\vec{c}=-(-1,-2)=(1,\,2)\]

بردارهای \(-\vec{b}\) و \(-\vec{c}\) را از مبدأ رسم می‌کنیم.

ج) مؤلفه‌های \(\vec{d}-\vec{c}\) و \(\vec{a}-\vec{b}\):

\[\vec{d}-\vec{c}=(d_1-c_1,\ d_2-c_2)=(2-(-1),\ -2-(-2))=(3,\,0)\]
\[\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,\ a_2-b_2)=(3.5-(-1),\ 2-2)=(4.5,\,0)\]

اندازهٔ هر بردار را با رابطهٔ \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) محاسبه می‌کنیم:

\[|\vec{d}-\vec{c}|=\sqrt{3^2+0^2}=3\]
\[|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{4.5^2+0^2}=4.5\]

بردار \(\vec{d}-\vec{c}\) طولی برابر \(3\) و بردار \(\vec{a}-\vec{b}\) طولی برابر \(4.5\) دارد.

د) با استفاده از \(\vec{i}=(1,0)\) و \(\vec{j}=(0,1)\) و نمایش \(\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}\):

\[\vec{d}-\vec{c}=3\vec{i}+0\vec{j}=3\vec{i}\]
\[\vec{a}-\vec{b}=4.5\vec{i}+0\vec{j}=4.5\vec{i}\]
\[\vec{a}+\vec{b}=2.5\vec{i}+4\vec{j}\]
\[\vec{a}=3.5\vec{i}+2\vec{j}\]
\[\vec{b}=-\vec{i}+2\vec{j}\]
\[\vec{c}=-\vec{i}-2\vec{j}\]
\[\vec{d}=2\vec{i}-2\vec{j}\]