جواب بدون عنوان صفحه ۷۰ هندسه 3

با توجه به تعریف قرینه‌ی یک بردار، داریم:
\[\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\]

یعنی برای به دست آوردن \(\vec{a}-\vec{b}\) کافی است بردار \(\vec{a}\) را با قرینه‌ی \(\vec{b}\) جمع کنیم. بردار \(-\vec{b}\) همان اندازه‌ی \(\vec{b}\) را دارد، اما جهتش خلاف جهت \(\vec{b}\) است.

حالا جمع دو بردار \(\vec{a}\) و \(-\vec{b}\) را با روش متوازی‌الاضلاع انجام می‌دهیم. اگر هر دو بردار از یک نقطه شروع شوند، قطر متوازی‌الاضلاعی که اضلاعش \(\vec{a}\) و \(-\vec{b}\) هستند، بردار \(\vec{a}-\vec{b}\) است.

راه ساده‌تر این است که بدانیم \(\vec{a}-\vec{b}\) همان بردار «از انتهای \(\vec{b}\) به انتهای \(\vec{a}\)» است، وقتی هر دو بردار از یک مبدأ شروع شده باشند. برای درستی این موضوع بررسی می‌کنیم:
\[\vec{b}+(\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}\]
یعنی اگر از انتهای \(\vec{b}\) بردار \(\vec{a}-\vec{b}\) را رسم کنیم، به انتهای \(\vec{a}\) می‌رسیم.

همین نتیجه را با مختصات هم می‌توان دید. اگر \(\vec{a}=(a_1,a_2)\) و \(\vec{b}=(b_1,b_2)\) باشد، آنگاه:
\[\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,\ a_2-b_2)\]

نتیجه: تفاضل دو بردار \(\vec{a}-\vec{b}\) از نظر هندسی همان جمع \(\vec{a}\) با قرینه‌ی \(\vec{b}\) است، و آن برداری است که از انتهای \(\vec{b}\) به انتهای \(\vec{a}\) می‌رود.