جواب فعالیت صفحه ۲۶ حسابان (2)

حسابان (2)

حسابان (2) | درس اول: تناوب و تاثرانت

صفحه ۲۶

سؤال 1

۱ با دقت در نمودار هر یک از توابع داده شدهٔ زیر، دورهٔ تناوب، مقادیر ماکزیمم و مینیمم هر یک را تشخیص دهید. در ادامه می‌خواهیم با بررسی نمودارهای داده شده، تأثیر ضریب \(b\) در تابع \(y=\sin bx\) را بر دورهٔ تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم این تابع بررسی کنیم.

تابع	ماکزیمم	مینیمم	دوره تناوب
\(y=\sin x\)	\(1\)	\(-1\)	\(2\pi\)
\(y=\sin 2x\)	...	...	...
\(y=\sin(-3x)\)	...	...	...
\(y=\sin\frac{x}{2}\)	...	...	...
\(y=\sin(-\frac{x}{3})\)	...	...	...

پاسخ

ابتدا با توجه به تعریف دوره‌ی تناوب، برای تابع \(y=\sin bx\) داریم:

\[\sin\big(b(x+T)\big)=\sin(bx) \quad\Rightarrow\quad bT=2\pi \quad\Rightarrow\quad T=\frac{2\pi}{|b|}\]

مقدار ماکزیمم و مینیمم هم در همه‌ی این توابع، چون ضریب \(\sin\) برابر \(1\) است، همان \(1\) و \(-1\) می‌ماند.

تابع	ماکزیمم	مینیمم	دوره تناوب
\(y=\sin x\)	\(1\)	\(-1\)	\(2\pi\)
\(y=\sin 2x\)	\(1\)	\(-1\)	\(\dfrac{2\pi}{2}=\pi\)
\(y=\sin(-3x)\)	\(1\)	\(-1\)	\(\dfrac{2\pi}{3}\)
\(y=\sin\dfrac{x}{2}\)	\(1\)	\(-1\)	\(\dfrac{2\pi}{\frac{1}{2}}=4\pi\)
\(y=\sin(-\dfrac{x}{3})\)	\(1\)	\(-1\)	\(\dfrac{2\pi}{\frac{1}{3}}=6\pi\)

در نمودارها هم دیده می‌شود که \(\sin 2x\) سریع‌تر تکرار می‌شود و \(\sin\frac{x}{2}\) کندتر. علامت منفی ضریب \(b\) فقط جهت موج را عوض می‌کند و روی دوره‌ی تناوب اثری ندارد، چون در دوره از \(|b|\) استفاده می‌شود.