مقاطع تحصیلی
جستجو در منظومه
فصل پنجم : کاربردهای مشتق 131نقطۀ عطف نمودار یک تابع3 x = y y4نمودار تابع = x 3 x() f را در نظر بگیرید. دیدیم که جهت تقعر نمودار 3این تابع در ٔ بازه (- ∞, 0) رو به پایین و در ٔ بازه ∞(0, +) رو به باالست. 2 1بنابراین ٔ نقطه x = 0 نقطه ای است که جهت تقعر منحنی در آن عوض -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 xمی‌شود. از طرفی در x = 0 منحنی دارای مماس نیز هست. چنین -1نقطه ای از یک منحنی را ٔ نقطه عطف آن منحنی گوییم. به عبارت دیگر: -2-3-4تعریففرض کنیم تابع f در نقطه x = c پیوسته است. در این صورت نقطه (f, c(c)) نقطهعطف تابع f است، هرگاه هر دو شرط زیر برقرار باشند:الف) نمودار f در نقطه (f, c(c)) خط مماس داشته باشد.ب) جهت تقعر f در نقطه (f, c(c)) تغییر کند.از شرط (الف) در ِ تعریف ٔ نقطه ِ عطف تابع f نتیجه می‌شود که یا (c(′ f f) c)موجود است و یا تابع f در ٔ نقطه c مماس قائم دارد.از شرط (ب) می‌توان نتیجه گرفت که خط مماس بر نمودار تابع در ٔ نقطه(f, c(c)) از نمودار تابع عبور می‌کند. c xخط x = c مماس قائم است.از آنجا که تقعر تابع در دو طرف ٔ نقطه عطف تغییر می‌کند؛ لذا ″ f در یک طرف ٔ نقطه c مثبت و در طرف دیگر آن منفی است.بنابراین (c) ″ f نمی‌تواند مقداری به جز صفر داشته باشد؛ یعنی برای اینکه (f, c(c)) یک ٔ نقطه عطف منحنی باشد، یا باید (c) ″ fوجود نداشته باشد و یا اگر وجود دارد باید داشته باشیم = 0 (c) ″ . f با این حال شرط = 0 (c) ″ f برای ٔ نقطه عطف بودن x = c