جواب کار در کلاس صفحه ۱۳۰ حسابان (2)

حل:

از شرط‌های داده‌شده، سه نقطهٔ \((0,0)\)، \((1,0)\) و \((2,0)\) روی نمودار قرار دارند.

علامت \(f''\) در \(x=1\) تغییر می‌کند: برای \(x<1\) منفی و برای \(x>1\) مثبت است. پس جهت تقعر در \(x=1\) عوض می‌شود و نقطهٔ \((1,0)\) نقطهٔ عطف نمودار است.

برای رسم، یک تابع سهمی‌شکل نمونه انتخاب می‌کنیم:

\[f(x)=\frac{1}{2}x(x-1)(x-2)\]

ریشه‌های این تابع \(0\)، \(1\) و \(2\) هستند و داریم:

\[f''(x)=3(x-1)\]

برای \(x<1\) داریم \(f''(x)<0\) و برای \(x>1\) داریم \(f''(x)>0\). پس این تابع همهٔ شرایط مسئله را دارد.

مقدارهای کمکی:

\[f(-0.5)\approx -0.94,\qquad f(0.5)\approx 0.19,\qquad f(1.5)\approx -0.19,\qquad f(2.5)\approx 0.94\]

نمودار از \((0,0)\) بالای محور \(x\) می‌رود، در \((1,0)\) از محور \(x\) عبور می‌کند، سپس زیر محور قرار می‌گیرد و در \((2,0)\) دوباره به محور \(x\) می‌رسد. در اطراف \(x=1\) تقعر منحنی از رو به پایین به رو به بالا تغییر می‌کند.