مقاطع تحصیلی
جستجو در منظومه
فصل پنجم : کاربردهای مشتق 123با توجه به آنچه گفته شد می‌توان محک زیر را که به نام آزمون مشتق ّ او ل معروف است بیان نمود.آزمون مشتق ّ او لفرض کنیم تابع f بر بازه ای باز مانند I f D(⊆)I پیوسته باشد و I ∈ c یک ٔ نقطه بحرانی تابع f باشد. هرگاه f بر اینبازه به جز احتماال ً در ٔ نقطه c ، مشتق پذیر باشد، در این صورت:الف) اگر به ازای تمام مقادیر x در بازه ای مانند (, c(a ، 0 > x() ′ f و به ازای تمام مقادیر x در بازه ای مانند (, b(c ، 0 < x() ′ f ،در این صورت c() f یک مقدار ماکزیمم نسبی f است.ب) اگر به ازای تمام مقادیر x در بازه ای مانند (, c(a ، 0 < x() ′ f ، و به ازای تمام مقادیر x در بازه ای مانند (, b(c ، 0 > x() ′ f ،آن گاه c() f یک مقدار مینیمم نسبی f است.پ) اگر ′ f در ٔ نقطه c تغییر عالمت ندهد، به طوری که ′ f در هر دو طرف c مثبت یا هر دو طرف آن منفی باشد، آن گاهc() f نه مینیمم نسبی و نه ماکزیمم نسبی است.مثال: اکسترمم های نسبی و مطلق تابع = x 3 - 2 x 2 - 4 x + 6 x() f را در ٔ بازه 4[, ]-3 به دست آورید و مشخص کنید اینتابع در چه بازه هایی صعودی و در چه بازه هایی نزولی است؟حل: از آنجا که توابع چندجمله ای همواره مشتق پذیرند لذا برای مشخص کردن نقاط بحرانی تابع f باید تمام نقاطی که مشتقتابع در آنها صفر می‌شود را به دست آوریم.2 3 − = x یا 2 = x ⇒ 0 = x() ′ f 4 - x 4 - 2 x 3 = x() ′ fلذا نقاط بحرانی این تابع نقاط x = 2 و 3 2 − x = است و نقاط x = -3 و x = 4 هم که نقاط انتهایی بازه هستند و داریم:3 2, 202 27 (, ) 2, -2 (, ) 4, 22 (−), (-3, -27)لذا x = 4 و x = -3 به ترتیب طول نقاط ماکزیمم و مینیمم مطلق و مقادیر آنها به ترتیب 22 و -27 است. حال برای تعییناکسترمم های نسبی و صعودی و نزولی بودن تابع باید مشتق تابع را تعیین عالمت کنیم. با توجه به تعیین عالمت معادالت ٔ درجهدوم داریم:2 2 3 − x+ 0 - 0 + x() ′ f