مقاطع تحصیلی
جستجو در منظومه
همان طور که مشاهده شد حاصل ضرب خارجی دو بردار i → و j → برابر با بردار k → شدکه بر هر دوی i → و j → عمود می‌باشد. ضرب خارجی دارای خواص زیر می‌باشد.خاصیت :1 فرض کنید a = (a 1, a 2, a 3) → و b = (b 1, b 2, b 3) → دو بردار باشند. دراین صورت0 = b(→ × a → .) b →, 0 = b(→ × a → .) a →این خاصیت گویای این مطلب است که b → × a → ⊥ b → و b → × a → ⊥ a →بنابراین با توجه به آنچه تاکنون به دست آمده است می‌توان گفت ضرب خارجی دو بردار،برداری است عمود بر آنها که اندازه آن از لحاظ عددی برابر با مساحت متوازی االضالعایجاد شده توسط آن دو بردار است. در واقع می‌توان نشان داد که بردار حاصل از ضربخارجی دو بردار بر صفحه شامل آن دو بردار عمود است.اثبات این خاصیت در ادامه می‌آید.اثبات:= 0 b(= a 1)a 2 b 3 - a 3 b 2 (+ a 2)a 3 b 1 - a 1 b 3 (+ a 3)a 1 b 2 - a 2 b 1 (→ × a → .) a →= 0 b(= b 1)a 2 b 3 - a 3 b 2 (+ b 2)a 3 b 1 - a 1 b 3 (+ b 3)a 1 b 2 - a 2 b 1 (→ × a → .) b →می‌توان نشان داد که برای سه بردار i → و j → و k → روابط زیر برقرار است:i j → i → × = k →, i → k → × = j →, k → j → × = i →j → − = k → × i →, i → − = j → × k →, k → − = i → × j →معموال ً این روابط را به صورت نمودار چرخشی نیز نمایش می‌دهند.k j خاصیت :2 a → × b → = − b → × a → .خاصیت :3 o → = a → × a → .خاصیت :4 اگر r عددی حقیقی باشد، آنگاه: b → r × a → = b(→ × a →) r = b → × a → r .خاصیت :5 برای سه بردار c → b, → a, → داریم:c → × a → + b → × a → = c(→ + b →) × a →c(→ × b →) + c(→ × a →) = c → × b(→ + a →)خاصیت :6 دو بردار غیر صفر b → a, → با هم موازی هستند اگر و فقط اگر o → b = → × a → .اثبات:b → || a → ⇔ π = θ یا 0 = θ ⇔ 0 = sin ⇔ 0 = θ |sin b → || a → | ⇔ 0 = | b → × a → | ⇔ o → = b → × a →82