مقاطع تحصیلی
جستجو در منظومه
کار در کالساگر ∈ a, b کدام یک از ترکیب های دو شرطی زیر درست است؟3 b < 3 a ⇔ b < a(ب 2 b < 2 a ⇔ b < a(الفمثال: اگر 0 < a ثابت کنید 2 ≥ a + a 1اگر 0 < a ، داریم: a 2 ≥ 1 + 2 a ⇔ 2 ≥ 1 a + aاین ترکیب دو شرطی بیان نمی‌کند که کدام گزاره درست است، بلکه تنها بیانگر آن است که دو گزاره هم ارز هستند و اثباتهر کدام، دیگری را نتیجه می‌دهد. به نظر شما چرا این دو گزاره هم ارز هستند؟ اثبات کدام یک ساده تر است؟همچنین 0 ≥ a 2 − 1 + 2 a ⇔ a 2 ≥ 1 + 2 aو درنهایت: 0 ≥ 2 (1 − a) ⇔ 0 ≥ a 2 − 1 + 2 aآخرین گزاره یعنی 0 ≥ 2 (1 − a) همواره برقرار است، به عبارت دیگر حکم هم ارز گزاره ای است که همواره برقرار است.پس حکم ثابت شده است. مراحل اثبات را (با شرط 0 < a) به صورت زیر می‌توان خالصه کرد:a 2 ≥ 1 + 2 a ⇔ 2 ≥ 1 a + a0 ≥ a 2 − 1 + 2 a ⇔همواره برقرار است. 0 ≥ 2 (1 − a) ⇔به هر حال این نوع استدالل در گفت وگوها و مذاکرات معمول هم مورد استفاده قرار می‌گیرد، آنجا که برای بررسی یکحکم، معادل آن را به مخاطب یادآوری می‌کنیم و از عباراتی نظیر: آنچه که شما می‌گویید معادل این است که …، یا گفته شمابه مثابه آن است که …، در آنجا باید از قوانین و ادبیات مورد پذیرش طرفین پیروی کنیم و در ریاضیات از منطق ریاضی. درهر حال در هنگام استفاده از این نوع استدالل در زندگی روزمره هم ممکن است پس از چند مرحله به نتیجه برسیم.مثال: ثابت کنید میانگین حسابی دو عدد نامنفی، از میانگین هندسی آنها کمتر نیست.حل: اگر a و b دو عدد نامنفی باشند، حکم ما چنین خواهد بود: ab ≥ a 2 + bab 2 ≥ b + a ⇔ ab ≥ b + a20 ≥ ab 2 − b + a ⇔گزاره همیشه درست. 0 ≥ 2 (b − a) ⇔مثال: اگر b و a دو عدد حقیقی باشند ثابت کنید: 0 ≥ a 2 + ab + b 2حل: 0 ≥ 2 b 3 + 2 (b + a) ⇔ 0 ≥ 2 b + ab + 2 a4 2اثبات کوتاه و زیبایی است. حکم با یک گزاره همیشه درست (سمت راست) هم ارز است.7 درس اول: استدالل ریاضی