مقاطع تحصیلی
جستجو در منظومه
مثال: a 1 ، a 2 و a 3 عددهایی صحیح هستند و b 1 ، b 2 و b 3 هم همان اعداد ولی به ترتیب دیگری قرار گرفته اند. ثابتکنید (3 b - 3 (a 1 - b 1) (a 2 - b 2))a عددی زوج است.حل: برای درک بهتر مسئله، مثالی ارائه می‌کنیم. a 1 ، a 2 و a 3 را به ترتیب، 5 ، 8 و 1 درنظر می‌گیریم و b 1 ، b 2 و b 3 را 8 ،1 و 5 درنظر می‌گیریم، داریم:84 = (a 1 - b 1) (a 2 - b 2) (a 3 - b 3) = (5-8) (8-1) (1- 5) = (-3) (7) (-4)اگر (3 b - 3 (a 1 - b 1) (a 2 - b 2))a زوج نباشد (فرض خلف) پس عددی فرد است. پس هر سه عامل 1 b - 1 a ، 2 b - 2 a و 3 b - 3 aهم باید فرد باشند (چرا؟) و درنتیجه مجموع آنها هم باید عددی فرد باشد، یعنی (3 - b 3 (a 1 b - 1) + (a 2 b - 2) +)a باید عددیفرد باشد. ّ ام ا مجموع این سه عبارت صفر است!کار در کالسدرستی گزاره های زیر را با استفاده از روش برهان خلف ثابت کنید.الف) اگر x یک عدد گنگ باشد، ثابت کنید x 1 نیز گنگ است.ب) اگر تابع f در x = a پیوسته ولی g در x = a ناپیوسته باشد، ثابت کنید f + g در x = a ناپیوسته است.اثبات های بازگشتی/ گزاره های هم ارزاگر ارزش دو گزاره یکسان باشد آنها را گزاره های هم ارز (هم ارزش) می‌نامیم.اگر P و Q دو گزاره هم ارز (یعنی همواره هر دو درست یا هر دو نادرست) باشند، آن گاه گزاره های Q ⇒ P و P ⇒ Qهر دو درست هستند و در نتیجه Q ⇔ P یک گزاره درست است.به عکس اگر ترکیب دو شرطی Q ⇔ P درست باشد، آن گاه P و Q دو گزاره هم ارز خواهند بود و اگر ارزش یکی از آنهارا بدانیم، ارزش دیگری نیز همان خواهد بود. به کمک این موضوع می‌توانیم درستی یا نادرستی یک گزاره را بررسی کنیم.در عمل به طور معمول درستی یا نادرستی گزاره ای که معموال ً ساده تر است را انتخاب می‌کنیم. البته این کار ممکن است کهدر یک مرحله انجام نشود، به طور مثال اگر Q, P و R سه گزاره باشند و R ⇔ Q و Q ⇔ P یعنی ارزش سه گزاره یکساناست و اثبات درستی یا نادرستی هر یک، تکلیف دو گزاره دیگر را معلوم خواهد کرد. به هر حال ممکن است این عمل ادامهیابد و در تعدادی متناهی مرحله کار انجام شود.با توجه به آنچه گفته شد، در هنگام استفاده از این روش اثبات (که گاهی به آن «روش بازگشتی» هم می‌گویند) توانایی ارائهترکیب دو شرطی درست و مناسب بسیار اساسی است.مثال: ترکیب دو شرطی ( ∈ a, b) ، a 3 = b 3 ⇔ a = b درست است ولی ترکیب دو شرطی a 2 = b 2 ⇔ a = b درستنیست (چرا؟)فصل ا ّ و ل: آشنایی با نظریه اعداد 6