اثبات غیر مستقیم به روش برهان خلف

انواع روش استدلال و اثبات

اثبات غیر مستقیم- برهان خلف:

در روش برهان خلف فرض می‌کنیم که حکم نادرست باشد و سپس با استفاده از قوانین منطق و گزاره‌ها و دنباله ای از استدلال‌های درست و مبتنی بر فرض به یک نتیجه غیر ممکن یا نتیجه ای در تضاد با فرض می‌رسیم. با توجه به منطقی بودن همه مراحل معلوم می شود فرض نادرست بودن حکم باطل است و درستی حکم ثابت می گردد.

بنابر این قدم‌های ما در حل مسئله بدین شرح است:

1. فرض می‌کنیم خلاف حکم صحیح است.

2. به کمک فرض و استدلال به تناقض می رسیم.

3. لذا خلاف حکم باطل است و حکم مسئله اثبات می‌شود.

مثال: 

ثابت کنید حاصل جمع یک عدد گویا و یک عدد گنگ، عددی گنگ است.

    \[a\in Q\]

\[b\in Q^\prime\]  

فرض می کنیم \(a+b\in Q\)  (فرض خلف)

می دانیم اختلاف دو عدد گویا خود عددی گویاست لذا:

\[(a+b)-a\in Q\Rightarrow  b\in Q\]

اما فرض این بود که b عددی گنگ است لذا به تناقض رسیدیم. پس فرض خلف باطل و حکم مسئله اثبات گردید.