مقاطع تحصیلی
جستجو در منظومه
86قضیه: اگر تابع f در x = a مشتق پذیر باشد آن گاه f در a پیوسته است.اثبات: کافی است نشان دهیم: f lim(x(f =) a)a → x= f(a))) − a)(f(x(− x)(lim = f(a)(− lim) f(x)a − x a → x a → x0 = (a(′ f . 0 = f) a)) − a(. lim) f(x(− x) lima − x a → x a → xبنابراین 0 = f(a)(− lim) f(x) و از آنجا lim f(x(= f) a()چرا؟)a → x a → xبا توجه به این قضیه به طور منطقی می‌توان نتیجه گرفت که:اگر تابع f در x = a پیوسته نباشد، آن گاه f در x = a مشتق پذیر هم نیست.مثال بعد نشان می‌دهد که عکس قضیه درست نیست، یعنی حتی با وجود پیوستگی تابع در یک نقطه، لزوماً نمی‌توان مشتق پذیریتابع در آن نقطه را نتیجه گرفت.مثال: مشتق پذیری تابع 1| x 2 - | = x() f را در x = 1 بررسی کنید.0 − | 1 − 2 x | = f(1 (− f) x)1 − x 1 → lim x 1 − x 1 → lim xبرای محاسبه (1) ′ f ناچاریم حدهای راست و چپ را به دست آوریم.2 1 − 2 x = lim | 1 − 2 x | = lim = حد راست1 − x + 1 → x 1 − x + 1 → x2 − = 1 (− 2 x) − 1 − lim 2 x = | x = 1 (−) f 2 x | lim = حد چپ1 − x − 1 → x 1 − x − 1 → xبنابراین (1) ′ f موجود نیست. به عبارت دیگر خط مماس بر 5 yمنحنی در نقطه x = 1 وجود ندارد. اما حدهای یک طرفه فوق را 4می‌توان با وجود نیم خط های مماس بر منحنی در نقطه x = 1 توجیهکرد. اگر از سمت راست به نقطه x = 1 نزدیک شویم، شیب نیم خط 3مماس بر منحنی در این نقطه برابر 2 و اگر از سمت چپ به 2x = 1 نزدیک شویم، شیب نیم خط مماس بر منحنی در این نقطه برابر 1-2 است. حدهای راست و چپ باال را به ترتیب مشتق های راست -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 xو چپ f در x = 1 می‌نامیم و با (1) ′ f + و (1) ′ − f نمایش می‌دهیم. -1