جواب تمرین صفحه ۷۶ هندسه 3

با توجه به شکل، هر چهار نقطه روی صفحه‌ی \(z=3\) قرار دارند:
\[A=(2,1,3),\quad B=(-1,1,3),\quad C=(2,-1,3),\quad D=(-3,-1,3)\]

الف) ابتدا ضلع‌های چهارضلعی را بررسی می‌کنیم:

• پاره‌خط \(AB\) روی خط \(y=1\) است، زیرا عرض \(A\) و \(B\) هر دو برابر \(1\) است.
• پاره‌خط \(CD\) روی خط \(y=-1\) است، زیرا عرض \(C\) و \(D\) هر دو برابر \(-1\) است.
• پاره‌خط \(AC\) روی خط \(x=2\) است، زیرا طول \(A\) و \(C\) هر دو برابر \(2\) است.
• پاره‌خط \(BD\) روی خط \(y=x+2\) است. با جای‌گذاری مختصات \(B\) داریم \(1=-1+2\) و با جای‌گذاری مختصات \(D\) داریم \(-1=-3+2\).

بنابراین عرض نقاط سطح بین \(-1\) و \(1\) است. در هر عرض \(y\)، طول نقاط از ضلع \(BD\) یعنی \(x=y-2\) شروع می‌شود و تا ضلع \(AC\) یعنی \(x=2\) ادامه دارد. پس سطح محدود شده به چهارضلعی \(ABCD\) به این صورت است:
\[\begin{cases} -1 \le y \le 1 \\ y-2 \le x \le 2 \\ z = 3 \end{cases}\]

ب) مساحت این ذوزنقه را حساب می‌کنیم. طول قاعده‌ی \(AB\) برابر \(3\) و طول قاعده‌ی \(CD\) برابر \(5\) است و ارتفاع آن \(2\) است. بنابراین
\[S=\frac{(3+5)\times 2}{2}=8\]

یک صفحه‌ی موازی با این سطح و هم‌مساحت با آن، با انتقال سطح روی محور \(z\) به دست می‌آید. مثلاً صفحه‌ی \(z=0\) را در نظر می‌گیریم:
\[\begin{cases} -1 \le y \le 1 \\ y-2 \le x \le 2 \\ z = 0 \end{cases}\]