مقاطع تحصیلی
جستجو در منظومه
17 + -17 5 - = 17 (2 q 1 - 5 q 2)5 − 17 + 1) − 2 q 5 − 1 q 2 (17 =3 q12 + 1 (− 3 q) 17 5 n = (− m 2) ⇒q 12 = r ⇒ 12 + q 17 =افراز مجموعۀ به کمک قضیه تقسیمبا توجه به ٔ قضیه تقسیم، می‌دانیم که اگر a عددی صحیح و دلخواه باشد، با تقسیم آن بر عدد طبیعی b ، و با توجه به اینکهباقی ٔ مانده تقسیم یعنی r در ٔ رابطه b < r ≤ 0 صدق می‌کند، برای a برحسب r دقیقاً b حالت وجود دارد، مثال ً اگر عدد صحیحa را بر 5 تقسیم کنیم در این صورت یا a بر 5 بخش پذیر است، یعنی r = 0 ، یا باقی مانده تقسیم a بر 5 عدد 1 است یا ... یاباقی ٔ مانده تقسیم 4 است؛ به عبارت دیگر، a = ... یا a = 5 k +3 یا a = ... یا a = 5 k +1 یا a = 5 k پس می‌توان گفت هر عددصحیح مانند a را می‌توان به یکی از پنج صورت فوق نوشت.مسئله :1 اگر ∈ m نشان دهید که m را به یکی از دو صورت 2 k یا 2 k +1 (زوج یا فرد) می‌توان نوشت.حل: کافی است m را بر 2 تقسیم کنیم؛ در این صورت طبق ٔ قضیه تقسیم خواهیم داشت:... = m یا ... = m ⇒ 2 < r ≤ 0, r + k = 2 mمسئله :2 ثابت کنید اگر 3 > p عددی اول باشد، آنگاه به یکی از دو صورت p = 6 k + 1 یا p = 6 k + 5 نوشته می‌شود.حل: کافی است p را بر 6 تقسیم کنیم، در این صورت طبق ٔ قضیه تقسیم خواهیم داشت:p = 6 k(1)p = 6 k +1 (2)p = 6 k +2 (3)p = 6 k +3 (4)p = 6 k +4 (5)p = 6 k +5 (6)p در حالت (1) ، (3) و (5) زوج است و لذا با اول ِ بودن آن تناقض دارد. در حالت (4) و با فاکتورگیری از 3 داریم:p = 3 (2 k +1)یا ′ p = 3 k یا p 3| که با اول بودن p در تناقض است و لذا فقط حالت های (2) و (6) باقی می‌ماند و حکم اثبات می‌شود.(توجه دارید که عکس مطلب فوق در حالت کلّی برقرار نیست؛ مثال ً (= 6*4+1 25) ولی 25 اول نیست.):3مسئله ابتدا ثابت کنید که هر عدد صحیح و فرد مانند a به یکی از دو صورت 4 k +1 یا 4 k +3 نوشته می‌شود، سپسنشان دهید که مربع هر عدد فرد به شکل (+1 t 8) نوشته می‌شود (باقی ٔ مانده تقسیم مربع هر عدد فرد بر ،8 مساوی با 1است.)15 درس دوم: بخش پذیری در اعداد صحیح