مقاطع تحصیلی
جستجو در منظومه
جایگشت های با تکرارگاهی اوقات چند شیء تکراری یا یکسان در بین اشیا یافت می‌شود. در این حالت تعداد جایگشت های این اشیا با تعدادجایگشت ها در حالتی که هیچ دو شیء یکسانی در بین اشیا نباشد، متفاوت بوده و به نظر می‌رسد کمتر باشد. به عنوان مثالتعداد جایگشت های سه حرف a ، b و c برابر با = 6 ! 3 است ولی تعداد جایگشت های سه حرف a و a و b برابر با 3 است(baa, aba, aab) درواقع چون جابه جایی دو حرف a حالت جدیدی تولید نمی‌کند و حالت تکراری به حساب می‌آید پس درواقع می‌بایست تعداد ّ کل جایگشت ها را بر تعداد حالت هایی که دو حرف تکراری می‌توانند جابه جا شوند یعنی ! 2 تقسیم کنیم،پس پاسخ این سؤال = 3 ! 3 است.! 2چون دو حرف a به ! 2 طریق می‌توانند با هم جابه جا شوند و این تعداد جابه جایی به صورت ضربی در ! 3 محاسبه شده و نبایدمحاسبه می‌شد، پس باید با تقسیم ! 3 بر ! 2 از عملیات ضربی خارج شود.کار در کالسمحاسبه کنید با ارقام ،2 ،1 1 و 1 چند رمز چهار رقمی‌می‌توان نوشت؟اگر 4 رقم متمایز بودند جواب این سؤال ! 4 بود ولی چون در این ! 4 و به صورت ضربی، ! 3 ِ حالت ممکن برای یک هامحاسبه شده و نباید محاسبه می‌شد، لذا کافی است برای رسیدن به جواب، تعداد کل حالت ها را بر تعداد حالت هایی که رمز 4رقمی‌جدید تولید نمی‌شود تقسیم کنیم یعنی پاسخ، = ! 4 است.اعداد 4 رقمی‌ممکن 2111, 1211, 1121, 11124 رمز ممکنتذکر: هرگاه n شیء مفروض باشند و در بین آنها k شیء تکراری یا مشابه وجود داشته باشد، برای ٔ محاسبه تعداد جایگشت هایاین n شیء ابتدا آنها را متمایز فرض کرده و جایگشت های آنها را حساب می‌کنیم و سپس حاصل را بر جایگشت های اشیایتکراری (به دلیل ورود در محاسبات به صورت ضربی) تقسیم می‌کنیم؛ یعنی این تعداد برابر است با: ! . n kبا همین استدالل می‌توان ٔ قضیه زیر را، که به آن ٔ قضیه جایگشت با تکرار می‌گوییم، بیان کرد:قضیۀ جایگشت با تکرار: اگر n شیء مفروض باشند، به طوری که n 1 تای آنها از نوع اول و یکسان و n 2 تای آنها از نوعدوم و یکسان و ... و n k تای آنها از نوع k ام و یکسان باشند، در این صورت تعداد کل جایگشت های این اشیا برابر است با:! n! k n × × ! 2 n × ! 1 nمثال: با ارقام ،5 ،4 ،4 ،2 ،3 ،2 ،2 1 و 1 چند عدد 9 رقمی‌می‌توان نوشت؟حل: طبق ٔ قضیه جایگشت با تکرار ! 9تعداد چهار ها ! 2 × ! 3 × ! 2 تعداد یک هاتعداد دو هافصل سوم: ترکیب ّ ی ات (شمارش) 58