افراز مجموعه \(\mathbb{Z} \) به کمک قضیه تقسیم

یک افراز از مجموعه \(A\)، شامل زیر مجموعه‌هایی از مجموعه  \(A\) است، به طوری که هر عضو از مجموعه \(A\) دقیقا در یکی از این زیر مجموعه‌ها وجود داشته باشد. به طوریکه:

1. این خانواده مجموعه، نباید شامل تهی باشد.
2. اجتماع این مجموعه‌ها، مجموعه A را پوشش دهد.
3. اگر اشتراک هر دو مجموعه را بگیریم، حاصل تهی شود.

می‌توان مجموعه اعداد صحیح را بر اساس باقیمانده تقسیمشان بر \(b\) افراز کرد.  در این صورت اعداد صحیح به \(b\) دسته افراز می شوند و فرم هر دسته به صورت \(bk+r+bn\) است که تنها به ازای \(n=0\) فرم دسته به صورت فرم قضیه تقسیم خواهد بود.