قضیه تقسیم

تعریف

اگر \(a\) عددی صحیح و \(b\) عددی طبیعی باشد در این صورت، اعدادی صحیح و منحصر به فرد مانند \(q\) و \(r\) یافت می‌شوند به قسمی که \(a=bq+r\) و \(0\le r<b\).

مثال

\[-25=7\times(-4)+3\]

نکات

به \(a\) مقسوم گفته می‌شود.

به \(b\) مقسوم علیه گفته می‌شود.

به \(q\) خارج قسمت گفته می‌شود.

به \(r\) باقیمانده گفته می‌شود.

توجه داشته باشید \(r\) همیشه نامنفی است و از \(b\) کوچکتر است یا به عبارتی \(r\in {0,1,\cdots ,b-1}\)

اگر \(r\) بزرگ تر از \(b\) بود ضرایب \(b\) را از آن کم کنید تا از \(b\) کوچکتر شود و به اندازه ضرایب به خارج قسمت اضافه کنید.

مثال

\[a=17q+36\Rightarrow a=17q+2 \times 17  +2\Rightarrow a=17(q+2)+2\]

اگر \(r\) منفی بود ضرایبی از \(b\) را به آن اضافه کنید تا مثبت شود و به اندازه ضرایب از خارج قسمت کم کنید.

مثال

\[a=17q-19\Rightarrow a=17q-19-34+34=17(q-2)+15\]