تعداد جواب‌های معادله سیاله-1

تعداد جواب‌های معادله سیاله

فرض کنید میخواهیم اشیاء یکسان را بین افراد یا دسته‌هایی متفاوت پخش کنیم برای این کار به تعداد افراد منهای یک،  قطعه چوب یکسان بین آن‌ها قرار می‌دهیم تا جایزه‌ها را به تعداد افراد دسته بندی کنند.

اشیاء را با \(a\) و چوب‌ها را با \(b\) نمایش می‌دهیم. برای مثال برای تقسیم 15 هدیه یکسان بین 5 نفر  جایگشتی متشکل از 15 \(a\) و 4 \(b\) ایجاد می‌شود. برای مثال جایگشت \(aaabaaaabbaaaaabaaa\) نشان دهنده حالتیست که به نفر اول سه عدد، نفر دوم چهار عدد، نفر سوم صفر ، نفر چهارم پنج و به نفر پنجم سه عدد هدیه می‌رسد. که با استفاده از رابطه جایگشت‌هایی با اعضای تکراری تعدادی برابر با \(\frac{19!}{4!15!}\) دارد.

این دسته از سوالات با چنین معادله سیاله ای مدل‌سازی می‌شوند.

\[x_1+x_2+\cdots +x_r=n\]

تعداد جواب‌های صحیح و نامنفی معادله بالا برابر است با:

\[\begin{pmatrix}n+r-1 \\r-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+r-1 \\n\end{pmatrix}=\frac{(n+r-1)!}{n!(r-1)!}\]