جواب سوال صفحه ۴۸ ریاضیات گسسته

حل:

ابتدا حالتی را بررسی می‌کنیم که \(x\) عدد صحیح باشد. طبق تعریف:

\[\lfloor x \rfloor = x, \qquad \lceil x \rceil = x\]

پس برای هر عدد صحیح \(x\) داریم \(\lfloor x \rfloor = \lceil x \rceil\).

حالا عددی غیرصحیح را در نظر بگیریم، مثلاً \(x = 2.5\):

\[\lfloor 2.5 \rfloor = 2 \qquad \lceil 2.5 \rceil = 3\]

این دو عدد با هم برابر نیستند. در حالت کلی، اگر \(x\) غیرصحیح باشد، \(\lfloor x \rfloor\) بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر از \(x\) و \(\lceil x \rceil\) کوچک‌ترین عدد صحیح بزرگ‌تر از \(x\) است. بین این دو عدد صحیح، هیچ عدد صحیح دیگری نیست و اختلافشان همیشه \(1\) است:

\[\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1 \qquad (x \notin \mathbb{Z})\]

پس \(\lfloor x \rfloor\) و \(\lceil x \rceil\) فقط وقتی با هم برابرند که \(x\) عدد صحیح باشد.

نتیجه: کف و سقف یک عدد فقط برای اعداد صحیح با هم برابرند.