ریاضی هشتم

در این مرور، هر روش را با یک مثال توضیح می‌دهیم.

۱. پیدا کردن جمع دو بردار

بردارهای \(\vec{a}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\) و \(\vec{b}=\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}\) را در نظر بگیرید. مختصات هم‌نام را با هم جمع می‌کنیم:
\[\vec{a}+\vec{b}=\begin{bmatrix}2+1\\1+3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\]

۲. پیدا کردن برایند دو بردار که ابتدای آنها یک نقطه باشد

اگر \(\vec{a}=\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}\) و \(\vec{b}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\) از مبدأ رسم شوند، برایند آنها قطر متوازی‌الاضلاعی است که دو بردار دو ضلع آن هستند. مختصات برایند برابر است با:
\[\vec{a}+\vec{b}=\begin{bmatrix}3+1\\1+2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}\]

۳. نوشتن جمع برداری و جمع مختصاتی

\[(2\vec{i}+\vec{j})+(\vec{i}-3\vec{j})=3\vec{i}-2\vec{j}\]
یعنی ضریب \(\vec{i}\) ها را با هم و ضریب \(\vec{j}\) ها را با هم جمع می‌کنیم. به صورت مختصاتی:
\[\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\-2\end{bmatrix}\]

۴. ضرب یک عدد در بردار

\[3\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\times 2\\3\times(-1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\-3\end{bmatrix}\]

۵. رسم بردارهای ترکیبی که شامل حاصل‌جمع مضرب‌های دو بردارند

می‌خواهیم \(\vec{c}=2\vec{a}+\vec{b}\) را رسم کنیم، که در آن \(\vec{a}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\) و \(\vec{b}=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\) است. ابتدا \(2\vec{a}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}\) را از مبدأ رسم می‌کنیم. سپس از انتهای آن، بردار \(\vec{b}\) را رسم می‌کنیم. بردار \(\vec{c}\) از مبدأ به انتهای \(\vec{b}\) می‌رسد.

۶. پیدا کردن مختصات بردارهای ترکیبی

\[2\vec{a}+\vec{b}=2\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\]

۷. تجزیهٔ یک بردار روی دو امتداد

می‌خواهیم بردار \(\vec{c}=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\) را روی دو امتداد \(\vec{u}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\) و \(\vec{v}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\) تجزیه کنیم. یعنی \(\vec{c}=m\vec{u}+n\vec{v}\). از برابری مختصات داریم:
\[m+n=3,\qquad m-n=4\]
با جمع دو معادله \(2m=7\) و در نتیجه \(m=3{,}5\). با تفریق آنها \(2n=-1\) و \(n=-0{,}5\). پس:
\[\vec{c}=3{,}5\,\vec{u}-0{,}5\,\vec{v}\]

۸. نوشتن مختصات بردار با بردارهای واحد مختصات

\[\begin{bmatrix}3\\-2\end{bmatrix}=3\vec{i}-2\vec{j}\]
ضریب \(\vec{i}\) مؤلفهٔ اول و ضریب \(\vec{j}\) مؤلفهٔ دوم است.

۹. نمایش بردارهای واحد مختصات به صورت مختصاتی

\[\vec{i}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\qquad \vec{j}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\]

۱۰. حل کردن معادله‌های شامل بردار

\[2\vec{x}-\vec{j}=4\vec{i}+\vec{j}\]
جملهٔ \(-\vec{j}\) را به طرف دیگر می‌بریم:
\[2\vec{x}=4\vec{i}+2\vec{j}\]
هر دو طرف را بر ۲ تقسیم می‌کنیم:
\[\vec{x}=2\vec{i}+\vec{j}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\]