عدد \( 1390^{1390} \) را \( a \) می‌نامیم. باید باقیمانده \( a \) بر \( 90 \) را به دست آوریم.

از آنجایی که \( 90 = 9 \times 10 \)، پس برای سهولت در محاسبات باقیمانده \( a \) بر هر دو عدد \( 9 \) و \( 10 \) را پیدا می‌کنیم.

\[ \begin{cases} a {\mathop{\equiv }\limits^{10}} 1390 {\mathop{\equiv }\limits^{10}} 0 \\ a {\mathop{\equiv }\limits^{9}} (1 + 3 + 9 + 0)^{1390} {\mathop{\equiv }\limits^{9}} (4)^{1390} {\mathop{\equiv }\limits^{9}} (4^3)^{463} \times4 {\mathop{\equiv }\limits^{9}} 1 \times4 {\mathop{\equiv }\limits^{9}} 4 \end{cases} \]

نکته: با توجه به اینکه \( 1390 \) مضرب \( 10 \) است، پس باقیمانده آن بر \( 10 \) برابر صفر است.

نکته: برای بدست آوردن باقی‌مانده a به پایه هم‌نهشتی 9 از قاعده جمع ارقام استفاده کردیم.

هر دو دسته هم‌نهشتی را تا رسیدن به عدد یکسان ادامه می‌دهیم:

\[ \begin{cases} a {\mathop{\equiv }\limits^{10}} 0 {\mathop{\equiv }\limits^{10}} 10 {\mathop{\equiv }\limits^{10}} 40 \\ a {\mathop{\equiv }\limits^{9}} 4 {\mathop{\equiv }\limits^{9}} 13 {\mathop{\equiv }\limits^{9}} 40 \end{cases} \Rightarrow a {\mathop{\equiv }\limits^{90}} 40 \]