باید از کل حالات ، حالاتی که حداقل یک نفر جایزه نمی‌گیرد را کم کنیم.

اگر کتاب‌ها در مجموعه X و نفرات در مجموعه Y قرار گیرند. طبق اطلاعات سوال می‌بایست تعداد توابع پوشا از یک مجموعه \( 5 \) عضوی به یک مجموعه \( 3 \) عضوی را به دست بیاوریم.

کل حالات با تعداد توابع از X به Y برابر است.

نکته: تعداد کل توابع از یک مجموعه \( n \) عضوی به یک مجموعه \( m \) عضوی از فرمول \( m^n \) به دست می‌آید.

\(S\): تمام حالت‌های توزیع جوایز \( |S| = 3^5 \)

اگر \(A_i\) را حالاتی که نفر \( i \)ام جایزه‌ دریافت نمی‌کند. بنابراین باید \(|S| - |A_1 \cup A_2 \cup A_3|\) را محاسبه کنیم

نکته: \(|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|\)

\(|A_1| = |A_2| = |A_3| = 2^5\)

\(|A_1 \cap A_2| = |A_1 \cap A_3| = |A_2 \cap A_3| = 1^5\)

\(|A_1 \cap A_2 \cap A_3| = 0\)

\( |S| - |A_1 \cup A_2 \cup A_3|\) \( = |S| - (|A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3|)\)

\( = 3^5 - (3 \times 2^5 - 3 \times 1^5 + 0) = 243 - (3 \times 32 - 3 \times 1 + 0) = 243 - (96 - 3 + 0) = 243 - 93 = 150\)