اثبات با در نظر گرفتن همه حالت‌ها

انواع روش استدلال و اثبات:

اثبات با در نظر گرفتن همه حالت‌ها:

گاهی برای اثبات یک گزاره لازم است همه حالات و موارد ممکن در مورد مسئله را در نظر بگیریم و در هر حالت به صورت جداگانه حکم مسئله را اثبات کنیم.در این گونه از مسائل نیاز داریم مسئله را حالت بندی کنیم و بعد از آن به اثبات حکم در هر حالت بپردازیم.

در این روش در واقع داریم از هم ارزی \( (p \lor q \Rightarrow r) \equiv (p \Rightarrow r) \land (q \Rightarrow r) \) استفاده می کنیم که اثبات آن بدین صورت است: 

\[p\vee q\Rightarrow r\equiv r\vee \sim (p\vee q)\equiv r\vee( \sim p\vee  \sim q)\equiv (r\vee \sim p)\wedge (r\vee \sim q)\equiv (p\Rightarrow r)\wedge (q\Rightarrow r)  \]

که به طریق مشابه برای هر تعداد متناهی حالت بندیی هم ارزی زیر اثبات می‌شود که در نتیجه برای اثبات  احکام می‌توان از روش اثبات با در نظر گرفتن همه حالات استفاده کرد.

\[P_{1}\vee P_{2}\vee . . .\vee P_{n}\Rightarrow r \equiv (p_{1}\Rightarrow r)\wedge (p_{2}\Rightarrow r)\wedge . . . \wedge (p_{n}\Rightarrow r)\]

مثال:

ثابت کنید برای هر عدد طبیعی n، \(n^{2}-5n+7\)  عددی فرد است.

برای اثبات این مسئله n را به دو حالت زوج و فرد دسته بندی می‌کنیم.

\[n=2k\Longrightarrow n^2-5n+7=4k^2-10k+7=2(2k^2-5k+3)+1=2q+1\]

\[n=2k-1\Rightarrow n^2-5n+7=(4k^2-4k+1)-10k+5+7=4k^2-14k+13=2(2k^2-7k+6)+1=2q+1\]