هم‌نهشتی در اعداد صحیح به پیمانه اعداد 2،5،10 و11

هم نهشتی به پیمانه‌های 11،10،5،2

پیمانه 11

بسط عدد n رقمی \(A=\overline{a_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}\ldots a_2a_1a_0}\)   بدین شکل است:

\[A={10}^{n-1}a_{n-1}+{10}^{n-2}a_{n-2}+\ldots+10a_1+a_0\]

از آنجا که عدد 10 با توان زوج و 1 به پیمانه‌ 11 همنهشت هستند و عدد 10 با توان فرد و 1- به پیمانه‌ 11 هم‌نهشت هستند عدد A با جمع و تفریق یک در میان ارقام خود از سمت یکان  به پیمانه 11 هم‌نهشت است.

\[{10\mathop{\equiv }\limits^{11}}-1\Rightarrow {10^{2n}\mathop{\equiv }\limits^{11}}1 ,{10^{2n+1}\mathop{\equiv }\limits^{11}}-1\] \[{A\mathop{\equiv }\limits^{11}}{10}^{n-1}a_{n-1}+{10}^{n-2}a_{n-2}+\ldots+10a_1+a_0{\mathop{\equiv }\limits^{11}} a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots \pm a_{n-1}\]

نتیجه

باقی مانده تقسیم هر عدد بر 11 برابر است با باقی مانده تقسیم جمع و تفریق یک در میان ارقام عدد از سمت یکان بر 11.

مثال

\[A=4985327\]

بنابر این باقی مانده تقسیم A بر 11 برابر است با

\[7-2+3-5+8-9+4=6\]
پیمانه 10،5،2

بسط عدد n رقمی \(A=\overline{a_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}\ldots a_2a_1a_0}\)   بدین شکل است:

\[A={10}^{n-1}a_{n-1}+{10}^{n-2}a_{n-2}+\ldots+10a_1+a_0\]

از آنجا که عدد 10 و 0 به پیمانه‌ اعداد 2 و 5 و 10 هم‌نهشت هستند A با رقم یکان خود به پیمانه اعداد 2 و 5 و 10 هم‌نهشت است.

نتیجه

باقی مانده تقسیم هر عدد بر 10 برابر یکان آن عدد است. 

باقی مانده تقسیم هر عدد بر 5 برابر یاقی مانده تقسیم یکان آن عدد بر 5 است. 

باقی مانده تقسیم هر عدد بر 2 برابر یاقی مانده تقسیم یکان آن عدد بر 2 است.