نقاط بحرانی

فصل5: کاربردهای مشتق، درس1: اکسترمم ­های تابع و توابع صعودی و نزولی

جلسه ­ی سی: نقاط بحرانی

نقطه­ ی بحرانی تابع: نقطه­ی x=a را که در دامنه ­ی تابع f قرار دارد، نقطه ­ی بحرانی تابع f می­گوییم اگر مشتق در این نقطه وجود نداشته باشد و یا برابر با صفر باشد. پس نقاط اکسترمم نسبی که مشتق در آن­ها وجود ندارد و یا برابر با صفر است، نقاط بحرانی محسوب می­شوند ولی نقاط بحرانی ممکن است اکسترمم نسبی نباشند.

مثال: در شکل زیر نقاط بحرانی تابع را با ذکر دلیل مشخص کنید.

در x=a,x=c,x=e تابع ناپیوسته است و مشتق ندارد و بحرانی است. در x=b,x=d,x=h مماس افقی، مشتق صفر و بحرانی است. x=f,x=g,x=j نقاط گوشه ­ای هستند، مشتق ندارند و بحرانی هستند. در x=i مماس، قائم است و مشتق وجود ندارد و بحرانی است. x=k توخالی و تابع در آن تعریف نشده است و چون جزء دامنه­ تابع نیست به عنوان نقطه­ ی بحرانی در نظر گرفته نمی­شود.

مشخص کردن نقاط بحرانی از روی ضابطه­ ی تابع

1-دامنه­ ی تابع را مشخص می­کنیم. 2-نقاطی که مشتق در آن­ها وجود ندارد را مشخص می­کنیم(نقاط ناپیوسته، نقاطی که مشتق چپ و راست نابرابر دارند و نقاط دارای مماس قائم). 3-ریشه ­های مشتق در صورت وجود، نقاط بحرانی هستند. 4-اگر تابع در یک بازه تعریف شده باشد، نقاط ابتدا و انتهای بازه که تابع در آن­ها تعریف شده است، اگر توخالی یا باز باشند، به دلیل نبودن در دامنه، بحرانی محسوب نمی­شوند ولی اگر توپر یا بسته باشند، به دلیل ناپیوستگی، بحرانی هستند.

مثال: نقاط بحرانی را در توابع زیر به دست آورید.\[f(x) = |x - 2|\ ,\ \lbrack - 4,4)\]

می­توان تابع را رسم یا تعیین علامت کرد. در x=2 مشتق وجود ندارد(نقطه ­ی گوشه ­ای). x=4 (انتهای بازه و تو خالی) در دامنه نیست و بحرانی محسوب نمی­شود. در x=-4 تابع ناپیوسته و مشتق­ ناپذیر است.

\[f(x) = \left\{ \begin{array}{r} x - 2\ \ \ \ x \geq 2 \\ 2 - x\ \ \ \ \ x < 2 \end{array} \right.\ \ \rightarrow \ f^{'}(x) =  \begin{cases} 1\ \ \ \ \ \ \ x > 2 \\ - 1\ \ \ \ x < 2 \end{cases} \]
تابع به جز در 2 و -4 در سایر نقاط بازه مشتق­ پذیر است. پس نقاط بحرانی عبارتند از: x=-4,x=2 \[g(x) = \begin{cases} x^{2} - 1\ \ \ x \leq 2 \\ 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x > 2 \end{cases} \]توابع چندضابطه­ ای شامل چندجمله­ ای­ ها، در تمام دامنه پیوسته و مشتق ­پذیراند و فقط نقاط مرزی باید بررسی شوند:\[\lim_{x \rightarrow 2^{+}}{g(x)} = 4\ ,\ \lim_{x \rightarrow 2^{-}}{g(x) = 3\ \rightarrow \text{حد ندارد} \rightarrow \text{ناپیوسته و مشتق ناپذیر}} \rightarrow x = 2\ بحرانی\]\[g^{'}(x) = \begin{cases} 2x \ \  x < 2 \\ 0 \ \ \  \ x > 2 \end{cases} \ \rightarrow \text{ریشه ی مشتق }\rightarrow 2x = 0 \rightarrow x = 0 \rightarrow x = 0\ بحرانی\]

مشخص کردن اکسترمم ­های مطلق

برای یافتن اکسترمم ­های تابع، 1-نقاط بحرانی تابع را مشخص می­کنیم. 2-مقادیر تابع را در نقاط بحرانی و نقاط ابتدا و انتهای بازه­ ی مورد نظر مشخص می­کنیم. 3-بیشترین مقدار، ماکزیمم مطلق و کمترین مقدار، مینیمم مطلق تابع است.

مثال: نقاط اکسترمم مطلق تابع \(f(x) = {2x}^{3} + 3x^{2} - 12x\) را در بازه­ی \([-1,3]\) بیابید.

توابع چندجمله ­ای­، در تمام دامنه پیوسته و مشتق ­پذیراند.\[f^{'}(x) = 6x^{2} + 6x - 12 = 0 \rightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \rightarrow (x + 2)(x - 1) = 0 \rightarrow x = - 2,1\ \text{نقاط بحرانی} \]\[f( - 1) = - 2 + 3 + 12 = 13\ ,\ f( - 2) = - 16 + 12 + 24 = 20\ \]\[f(1) = 2 + 3 - 12 = - 7\ ,\ f(3) = 54 + 27 - 36 = 45\]

x=1 مینیمم مطلق و x=3 ماکزیمم مطلق تابع هستند.

مثال: مقادیر اکسترمم مطلق تابع \(f(x) = \left| x^{2} - 1 \right|\) را در بازه­ی \([-2,2]\) بیابید.

تابع را رسم می­کنیم:

در x=\(\pm 1\) مشتق وجود ندارد(نقطه ­ی گوشه ­ای). x=\(\pm 2\) (ابتدا و انتهای بازه و تو پر) و به دلیل ناپیوستگی، بحرانی هستند.\[f(x) = \begin{cases} x^{2} - 1\ \ \ \ x \geq 1 \\ {1 - x}^{2}\ \ \ \ \ x < 1 \end{cases} \ \ \rightarrow \ f^{'}(x) = \begin{cases} 2x\ \ \ \ \ \ \ x > 1 \\ - 2x\ \ \ \ x < 1 \end{cases}\ \rightarrow 2x = 0 \rightarrow x = 0\]\[f( - 2) = 3\ ,\ f( - 1) = 0\ ,\ f(0) = 1\ ,\ f(1) = 0\ ,\ f(2) = 3\]

x=\(\pm 1\) مینیمم مطلق و x=\(\pm 2\) ماکزیمم مطلق هستند. بیشترین مقدار تابع 3 و کمترین مقدار آن 0 است.

بهینه ­سازی

در برخی مسایل به دنبال کمترین و بیشترین مقدار یک کمیت هستیم. در این مسایل کمیت مورد نظر را به عنوان متغیر یک تابع در نظر می­گیریم و مقادیر اکسترمم مطلق تابع را محاسبه می­کنیم.

مثال: بیشترین مساحت مستطیلی را که مجموع طول و عرض آن برابر با 10 است، بیابید.

تابع مورد نظر مساحت مستطیل(S) است. طول مستطیل x و عرض آن y و S=x.y تابع مساحت است. تابع فقط یک متغیر دارد، پس باید یکی از متغیرها را بر حسب متغیر دیگر بنویسیم.\[x + y = 10 \rightarrow y = 10 - x \rightarrow S = x.y = x(10 - x) \rightarrow S = - x^{2} + 10x\]\[S^{'} = - 2x + 10 = 0 \rightarrow 2x = 10 \rightarrow x = 5 \rightarrow S(5) = - 25 + 50 = 25 \text{بیشترین مساحت}\]

مثال: ورق فلزی مربعی شکل به طول 30 سانتی ­متر را در نظر بگیرید. مطابق شکل از چهار گوشه­ ی آن مربع­هایی به ضلع x برش می­زنیم. سپس با تا کردن ورق در امتداد خط­چین­های مشخص شده، یک جعبه­ی درباز می­سازیم. مقدار xچقدر باشد تا حجم قوطی بیشترین مقدار ممکن شود؟

ضلع قوطی \(l\) ارتفاع آن x و حجم آن \(V = l^{2}x\)

\[l + 2x = 30 \rightarrow l = 30 - 2x \rightarrow V = l^{2}x = (30 - 2x)^{2}x \rightarrow V = 4x^{3} - 120x^{2} + 900x \rightarrow\]\[V^{'} = 12x^{2} - 240x + 900 = 0 \rightarrow x^{2} - 20x + 75 = 0 \rightarrow (x - 15)( - 5) = 0 \rightarrow x = 5\ ,\ 15 \]\[V(5) = 500 - 3000 + 4500 = 2000\ ,\ V(15) = 13500 - 27000 + 13500 = 0\]

بیشترین حجم برای x=5 به دست می­آید.