معادلات مثلثاتی کسینوسی

فصل2: مثلثات، درس2: معادلات مثلثاتی

جلسه چهارده: معادلات کسینوسی

برای معادله cosx=a باید xهایی را پیدا کرد، که مقدار آن­ها در معادله­ی cosx=cosa صدق کند. اگر cosa مثبت باشد، a را در ربع1 انتخاب می­کنیم. چون cos(-a)=cosa، پس یک جواب برای معادله، a و جواب دیگر -a است و جواب­های کلی معادله­ی بالا به شکل زیر خواهد بود:

\[x = 2k\pi + a\ \ \ \ \ \ \ \ ,\ \ x = 2k\pi - a\]

اگر cosa منفی باشد، a را در ربع2 انتخاب می­کنیم. و جواب­های کلی تغییری نمی­کند.

مثال: معادلات زیر را حل کنید.

\(cosx= \frac{1}{2}\ \rightarrow \cos x = \cos{\frac{\pi}{3}\ \rightarrow}x = 2k\pi \pm \frac{\pi}{3}\ \\\)

\(cosx= \frac{-1}{2} \rightarrow \cos x = \cos{(\frac{2\pi}{3})\ \rightarrow}x = 2k\pi \pm \frac{2\pi}{3}\\\)

جواب­های کلی در بعضی معادلات خاص به صورت زیر است:

\([\cos x = 0 \rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{2}\ ,\ \ \cos x = 1 \rightarrow x = 2k\pi\ ,\ \ \cos x = - 1 \rightarrow x = 2k\pi + \pi]\)

مثال: جواب کلی معادله­ی\(cosx=\frac{1}{2}\)را به دست آورید. کدام جواب­ها در بازه­ی \([-3π,π]\) است؟

\(cosx=\mathbf{\ }\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos{\frac{\pi}{6}\ \rightarrow x = 2k\pi \pm \frac{\pi}{6}}\)
 

\(k = - 2 \rightarrow x = - 4\pi \pm \frac{\pi}{6}ق\ ق\ غ\ ,\ k = - 1 \rightarrow x = - 2\pi - \frac{\pi}{6} = - \frac{13\pi}{6},\ x = - 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{-11\pi}{6}\ \ ,\ k = 0 \rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6}\ ,\ k = 1 \rightarrow \ x = 2\pi \pm \frac{\pi}{6}ق\ ق\ غ\)

جواب­های مورد نظر عبارتند از:

\[- \frac{13\pi}{6}\ و\ \frac{-11\pi}{6}\ و - \frac{\pi}{6}\ و\ \frac{\pi}{6}\ \\\]

مثال: معادله­ ی\(cosx(2cosx-9)=5\) را حل کنید.

\[2\cos^{2}x - 9cosx - 5 = 0 \rightarrow\]

معادله­ ی درجه2 را با تغییر متغیر و روش دلتا حل می­کنیم:

\[cosx = u \rightarrow 2u^{2} - 9u - 5 = 0 \rightarrow \mathrm{\Delta} = 81 - 4(2)( - 5) = 121\]

\[u = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{4} \rightarrow u = 5ق\ ق\ غ\ ,\ u = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2} \rightarrow\]

\[cosx = - \frac{1}{2} = \cos{\frac{2\pi}{3} \rightarrow x =}2k\pi \pm \frac{2\pi}{3}\]

مثال: معادله­ی\(sinx+cosx=1 \) را در بازه­ ی  \(\mathbf{\ }0 \leq x \leq 2\pi\mathbf{\ }\)حل کنید.

\[{(sinx + cosx)}^{2} = 1 \rightarrow \sin^{2}x + \cos^{2}x + 2sinxcosx = 1 \rightarrow 1 + sin2x = 1 \rightarrow sin2x = 0\]

\[2x = k\pi \rightarrow x = \frac{k\pi}{2} \rightarrow k = 0 \rightarrow x = 0,\ k = 1 \rightarrow x = \frac{\pi}{2}\ ,\ \ k = 2 \rightarrow x = \pi\ \]

\[k = 3 \rightarrow x = \frac{3\pi}{2}\ ,\ k = 4 \rightarrow x = 2\pi\]

\[x = \pi \rightarrow 0 + ( - 1) \neq 1ق\ ق\ غ\ ,\ x = \frac{3\pi}{2} \rightarrow - 1 + 0 \neq 1ق\ ق\ غ\]
 

جواب­های معادله:

\([x = 0\ ,\frac{\pi}{2}\ ,\ 2\pi]\)