معادلات مثلثاتی شامل تانژانت

فصل2: مثلثات، درس2: معادلات مثلثاتی

جلسه پانزده: معادلات تانژانتی

برای معادله \(tanx=a \) باید xهایی را پیدا کرد، که مقدار آن­ها در معادله­ ی \(tanx=tan a \) صدق کند. اگر tan a مثبت باشد، a را در ربع1 انتخاب می­کنیم. چون\( tan(π+a)=tana \)، پس یک جواب برای معادله، a و جواب دیگر \( π+a\) است و جواب­های کلی معادله ­ی بالا به شکل زیر خواهد بود:

\[x = k\pi + a\ \]

اگر tana منفی باشد، a را در ربع4 انتخاب می­کنیم. و جواب­های کلی تغییری نمی­کند.

مثال: معادلات زیر را حل کنید.

\(sinx= cosx\ \rightarrow \frac{sinx}{cosx} = \frac{cosx}{cosx} \rightarrow tanx = 1 = \tan\frac{\pi}{4} \rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{4}\ \)

چون تقسیم بر cosx کرده ­ایم، باید ریشه ­های آن را جزء جواب در نظر نگیریم:

\[cosx = 0 \rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{2}\]

چون اشتراکی با جواب اصلی ندارد، پس جواب اصلی تغییری نمی­کند.

\[x = k\pi + \frac{\pi}{4}\]

مثال: معادله­ی tanx=tan5x را به دست آورید.

\[tan5x = tanx \rightarrow 5x = k\pi + x \rightarrow 4x =k\pi \rightarrow x = \frac{k\pi}{4}\]

تانژانت مجموع و تفاضل دو زاویه

\(\tan(a + b) = \frac{tana + tanb}{1 - tanatanb}\) , \(\tan(a - b) = \frac{tana - tanb}{1 + tanatanb}\)

\[tan \propto = \frac{0.5}{x}\ ,\ tan\theta = \frac{2.5 + 0.5}{x} = \frac{3}{x} \rightarrow \tan\beta = \tan(\theta - \alpha)\]

\[\tan\beta = \frac{\tan\theta - tan \propto}{1 + tan\theta tan \propto} = \frac{\frac{3}{x} - \frac{0.5}{x}}{1 + (\frac{3}{x})\frac{0.5}{x}} = \frac{\frac{2.5}{x}}{1 + \frac{1.5}{x^{2}}}\]

\[\tan\beta = \frac{\frac{2.5}{x}}{\frac{x^{2} + 1.5}{x^{2}}} = \frac{\frac{2.5}{1}}{\frac{x^{2} + 1.5}{x}} = \frac{2.5x}{x^{2} + 1.5}\]