معادلات مثلثاتی سینوسی

فصل2: مثلثات، درس2: معادلات مثلثاتی

جلسه سیزده: معادلات سینوسی

برای معادله sinx=a باید xهایی را پیدا کرد، که مقدار آن­ها در معادله­ی sinx=sina صدق کند. اگر sina مثبت باشد، a را در ربع1 انتخاب می­کنیم. چون sin(π-a)=sina، پس یک جواب برای معادله، a و جواب دیگر π-a است و جواب­های کلی معادله­ی بالا به شکل زیر خواهد بود:

\(x = 2k\pi + a \qquad  ,\qquad x = 2k\pi + \pi - a\)

اگر sina منفی باشد، a را در ربع4 انتخاب می­کنیم. و جواب­های کلی تغییری نمی­کند.

مثال: معادلات زیر را حل کنید.

 \(\sin x=\frac{1}{2}\ \rightarrow sinx = \sin{\frac{\pi}{6}\ \rightarrow}x = 2k\pi + \frac{\pi}{6}\ \ ,\ \ x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{6} = 2k\pi + \frac{5\pi}{6}\)

\(\sin x=\frac{-1}{2} \rightarrow sinx = \sin{( - \frac{\pi}{6})\ \rightarrow}x = 2k\pi - \frac{\pi}{6}\ \ ,\ \ x = 2k\pi + \pi + \frac{\pi}{6} = 2k\pi + \frac{7\pi}{6}\)

جواب­های کلی در بعضی معادلات خاص به صورت زیر است:

\[sinx = 0 \rightarrow x = k\pi\ ,\ \ sinx = 1 \rightarrow x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}\ ,\ \ sinx = - 1 \rightarrow x = 2k\pi - \frac{\pi}{2}\]

مثال: جواب کلی معادلات زیر را به دست آورید.

\[1)2sinx - \sqrt{3} = 0\]

\[2sinx = \sqrt{3} \rightarrow sinx = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin{\frac{\pi}{3}\ \rightarrow \left\{ \begin{array}{r} x = 2k\pi + \frac{\pi}{3} \\ \ \ x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{3} = 2k\pi + \frac{2\pi}{3} \end{array} \right.\ \ \ }\]

\[2)4sinx - \sqrt{8} = 0\]

\[4sinx = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\ \rightarrow sinx = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin{\frac{\pi}{4} \rightarrow \left\{ \begin{array}{r} x = 2k\pi + \frac{\pi}{4} \\ x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{4} = 2k\pi + \frac{3\pi}{4} \end{array} \right.\ \ \ \ }\]

\[3)2\sin 3x - \sqrt{2} = 0\]

\[sin3x = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\frac{\pi}{4} \rightarrow \left\{ \begin{array}{r} 3x = 2k\pi + \frac{\pi}{4} \\ \ 3x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{4} = 2k\pi + \frac{3\pi}{4} \end{array} \right.\ \ \ \rightarrow x \div 3 \rightarrow \left\{ \begin{array}{r} x = \frac{2k\pi}{3} + \frac{\pi}{12} \\ \ x = \frac{2k\pi}{3} + \frac{3\pi}{12} \end{array} \right.\\\]

\[4)sin2x = sin3x\]

\[sin3x = sin2x \rightarrow 2x = a{\ \rightarrow \left\{ \begin{array}{r} 3x = 2k\pi +2x\to x=2k\pi \\ 3x = 2k\pi + \pi - 2x \to 5x= 2k\pi + \pi\to x=\frac{2k\pi}{5} +\frac{\pi}{5}\end{array} \right.\ \ \ \ }\]
 

\[5)sinx\cos x = \frac{\sqrt{3}}{4}\]

\[2sinxcosx = sin2x \rightarrow sinxcosx = \frac{1}{2}sin2x \rightarrow \frac{1}{2}sin2x = \frac{\sqrt{3}}{4} \rightarrow sin2x = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}\]

\[\left\{ \begin{array}{r} 2x = 2k\pi + \frac{\pi}{3} \rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{6}\ \\ 2x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{3} = 2k\pi + \frac{2\pi}{3} \rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{3} \end{array} \right.\ \]