مجانب قائم

فصل3: حدهای نامتناهی-حد در بی­نهایت، درس1: حدهای نامتناهی

جلسه هجده: مجانب قائم

خط x=a را مجانب قائم تابع f(x) گوییم اگر دست کم یکی از شرایط زیر برقرار باشد:

\[\lim_{x \rightarrow a^{+}}{f(x) = + ꝏ}\ یا\ \lim_{x \rightarrow a^{-}}{f(x) = - ꝏ}\ یا\ \lim_{x \rightarrow a^{+}}{f(x) = - ꝏ}\ یا\ \lim_{x \rightarrow a^{-}}{f(x) = + ꝏ}\]

مجانب­ ها در نمودار هم به صورت زیر رسم می­شوند:

مثال: کدام یک از خطوط x=-1 , x=3 مجانب قائم تابع\(\frac{x^{2} - 4x + 3}{x^{2} - 2x - 3}\) است.

\[\lim_{x \rightarrow 3}\frac{x^{2} - 4x + 3}{x^{2} - 2x - 3} = \lim_{x \rightarrow 3}\frac{(x - 3)(x - 1)}{(x - 3)(x + 1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \rightarrow x = 3\ نیست\ قائم\ مجانب\]

\[\lim_{x \rightarrow ( - 1)}\frac{(x - 3)(x - 1)}{(x - 3)(x + 1)} = \lim_{x \rightarrow {( - 1)}^{-}}\frac{-2}{0^{-}} = + \infty \rightarrow x = - 1\ قائم\ مجانب\]

نکته: برای به دست آوردن مجانب قائم در توابع کسری، ریشه­ های مخرج را به دست می ­آوریم، اگر حاصل حد تابع در این نقاط، بی­نهایت شود، این نقاط مجانب قائم خواهند بود.

مثال: مجانب ­های قائم تابع \(\frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - x - 6}\) را در صورت وجود به دست آورید.

\([x^{2} - x - 6 = 0 \rightarrow (x - 3)(x + 2) = 0 \rightarrow x = - 2,3]\)

\[\lim_{x \rightarrow 3}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - x - 6} = \lim_{x \rightarrow 3}\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x + 2)}\ \ \ ,\ \ \lim_{x \rightarrow - 2}\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x + 2)}\]

\[\lim_{x \rightarrow 3^{-}}\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2}{0^{-}} = - \infty\ ,\ \lim_{x \rightarrow 3^{+}}\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2}{0^{+}} = + \infty\]

\[\lim_{x \rightarrow {( - 2)}^{-}}\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{12}{0^{-}} = - \infty\ ,\ \lim_{x \rightarrow {( - 2)}^{+}}\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{12}{0^{+}} = + \infty\]

مثال: نمودار تابع \(\frac{x + 1}{x^{3} + x}\) در نزدیکی مجانب قائم آن به چه صورت است؟

\[x^{3} + x = 0 \rightarrow x\left( x^{2} + 1 \right) = 0 \rightarrow x = 0\ ,\ x^{2} + 1\ ندارد\ ریشه\]

\[\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{x + 1}{x\left( x^{2} + 1 \right)} = \frac{1}{0^{-}} = - \infty\ پایین\ سمت\ به\ چپ\ شاخه  ی\]

\[\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{x + 1}{x\left( x^{2} + 1 \right)} = \frac{1}{0^{+}} = + \infty\ بالا\ سمت\ به\ راست\ شاخه  ی\]