قضایای حدهای نامتناهی

فصل3: حدهای نامتناهی-حد در بی­نهایت، درس1: حدهای نامتناهی

جلسه هفده: قضایای حد نامتناهی

قضیه ­ی1: اگرn یک عدد طبیعی باشد، آنگاه:

\[\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^n}=+\infty,\qquad\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x^n}=\begin{cases}-\infty & n\text{ فرد باشد}\\+\infty & n\text{ زوج باشد}\end{cases}\]

مثال:

\[\lim_{x \rightarrow 0^{+}}{\frac{1}{x^{4}} = + \infty}\ ,\ \lim_{x \rightarrow 0^{-}}{\frac{1}{x^{4}} = + \infty}\ ,\ \ \lim_{x \rightarrow 0^{+}}{\frac{1}{x^{5}} = + \infty}\ ,\ \ \lim_{x \rightarrow 0^{-}}{\frac{1}{x^{5}} = - \infty}\]

قضیه­ ی2: 1) اگر \(\lim_{x \rightarrow a^{-}}{f(x) = + ꝏ}\) و \(\lim_{x \rightarrow a^{+}}{f(x) = + ꝏ}\) آنگاه \(\lim_{x \rightarrow a}{f(x) = + ꝏ}\)

2. اگر \(\lim_{x \rightarrow a^{-}}{f(x) = - ꝏ}\) و \(\lim_{x \rightarrow a^{+}}{f(x) = - ꝏ}\) آنگاه \(\lim_{x \rightarrow a}{f(x) = - ꝏ}\)

مثال: مقدار حد زیر را به دست آورید.

\[\lim_{x \rightarrow 1}\frac{1}{|x - 1|}\]

\(\lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{1}{|x - 1|} = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{1}{|x - 1|} = \frac{1}{0^{+}} = + ꝏ\ \ ,\ \ \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\frac{1}{|x - 1|} = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\frac{1}{|x - 1|} = \frac{1}{0^{+}} = + ꝏ\ \ \rightarrow\) 

\[\lim_{x \to 1} \frac{1}{\left| x-1 \right|}=+\infty \]

قضیه­ ی3: اگر \(\lim_{x \rightarrow a}{f(x) = L \neq 0}\) و \(\lim_{x \rightarrow a}{g(x) = 0}\) آنگاه:

اگر \(L > 0\) و مقادیر\(g(x)\)  در یک همسایگی محذوف a مثبت باشد، آنگاه \(\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f(x)}{g(x)} = + \infty}\)

اگر \(L > 0\) و مقادیر\(g(x)\)در یک همسایگی محذوف a منفی باشد، آنگاه \(\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f(x)}{g(x)} = - \infty}\)

اگر \(L < 0\) و مقادیر\(g(x)\)در یک همسایگی محذوف a مثبت باشد، آنگاه \(\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f(x)}{g(x)} = - \infty}\)

اگر \(L < 0\) و مقادیر\(g(x)\)در یک همسایگی محذوف a منفی باشد، آنگاه \(\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f(x)}{g(x)} = + \infty}\)

مثال: مقدار حد زیر را به دست آورید.

\[\lim_{x \rightarrow 2^{-}}\frac{x + 1}{4 - x^{2}} = \frac{\lim_{x \rightarrow 2^{-}}(x + 1)}{\lim_{x \rightarrow 2^{-}}(4 - x^{2})} = \frac{3}{0^{+}} = + \infty\]

مثال: مقدار حدهای زیر را به دست آورید.

\[\lim_{x \rightarrow ( - 1)^{-}}\frac{x^{2} + x}{x^{2} + 2x + 1} = \lim_{x \rightarrow ( - 1)^{-}}\frac{x(x + 1)}{(x + 1)^{2}} = \lim_{x \rightarrow ( - 1)^{-}}\frac{x}{x + 1} \rightarrow x < - 1 \rightarrow x + 1 < 0 \rightarrow \lim_{x \rightarrow ( - 1)^{-}}\frac{x^{2} + x}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{-1}{0^{-}} = + \infty\]

\[\lim_{x \rightarrow - 2^{+}}\frac{1 - x}{x + 2} \rightarrow x > - 2 \rightarrow x + 2 > 0 \rightarrow \lim_{x \rightarrow - 2^{+}}\frac{1 - x}{x + 2} = \frac{3}{0^{+}} = + \infty\]

\(\lim_{x \rightarrow 2^{-}}\frac{\lbrack x\rbrack - 2}{x - 2} \rightarrow \lbrack 1/999..\rbrack = 1\ ,\ \ x < 2 \rightarrow x - 2 < 0 \rightarrow \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\frac{\lbrack x\rbrack - 2}{x - 2} = \frac{-1}{0^{-}} = + \infty\)

\[\lim_{x \rightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} - 1}{{(x - 1)}^{2}} = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\frac{(x - 1)(x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\frac{x + 1}{x - 1} \rightarrow x < - 1 \rightarrow x + 1 < 0 \rightarrow \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{2}{0^{-}} = - \infty\]

قضیه ­ی4: اگر \(\lim_{x \rightarrow a}{f(x) = L}\) و \(\lim_{x \rightarrow a}{g(x) = + ꝏ}\) یا \(\lim_{x \rightarrow a}{g(x) = - ꝏ}\) آنگاه: \(\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f(x)}{g(x)} = 0}\)

مثال:

\[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}{\frac{x + 1}{tanx} = \frac{\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(x + 1)}{\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(tanx)}} = \frac{\frac{\pi}{2} + 1}{ꝏ} = 0\]

قضیه ­ی5: اگر \(\lim_{x \rightarrow a}{f(x) = + ꝏ}\) و \(\lim_{x \rightarrow a}{g(x) = L}\)

الف) \(\lim_{x \rightarrow a}{(f(x) + g(x)) = + ꝏ}\)

ب) اگر L>0 آنگاه \(\lim_{x \rightarrow a}{(f(x) \times g(x)) = + ꝏ}\) و اگر L<0 آنگاه \(\lim_{x \rightarrow a}{\left( f(x) \times g(x) \right) = - ꝏ}\)

مثال: مقدار حدهای زیر را به دست آورید.

\[\lim_{x \rightarrow 0}\left( 2x + 1 + \frac{1}{x^{2}} \right) = \lim_{x \rightarrow 0}2x + \lim_{x \rightarrow 0}1 + \underset{x \rightarrow 0}{\lim\frac{1}{x^{2}}} = 0 + 1 + ( + \infty) = + \infty\]

\[\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{x + \sin^{2}x}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\left( \frac{x}{x^{2}} + \frac{\sin^{2}x}{x^{2}} \right) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\left( \frac{1}{x}) + \lim_{x \rightarrow 0^{+}}(\frac{\sin^{2}x}{x^{2}} \right) = + \infty + 1 = + \infty\]

\[\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\left( \frac{\sin^{2}x}{x^{2}} \right) = 1\]