رسم نمودار توابع

فصل5: کاربردهای مشتق، درس3: رسم نمودار توابع

جلسه­ ی سی و چهار: رسم نمودار یک تابع

رسم توابع چندجمله ­ای

برای رسم توابع چندجمله­ای، مواردی را باید مشخص کنیم: 1-دامنه ­ی تابع 2-محل تلاقی نمودار با محورهای مختصات 3-محاسبه­ ی مشتق تابع 4-تعیین نقاط بحرانی و اکسترمم ­های نسبی تابع(در صورت وجود) 5-محاسبه ­ی مشتق دوم 6- تعیین نقطه­ ی عطف تابع (در صورت وجود) 7-تعیین رفتار تابع در \(\pm \infty\) 8-به دست آوردن مجانب­ های تابع(در صورت وجود) 9-تشکیل جدول رفتار تابع(تعیین علامت مشتق و مشتق دوم و بررسی یکنوایی و جهت تقعر نمودار تابع) 10-استفاده از نقاط کمکی در صورت لزوم 11-رسم نمودار تابع.

مثال: نمودار تابع \(f(x) = x^{3} - 3x + 4\) را رسم کنید.

\[D_{f}\mathbb{= R\ ,\ }x = 0 \rightarrow y = 4 \rightarrow (0,4)\ \text{محل برخورد با محور عرض ها}\]\[f^{'}(x) = 3x^{2} - 3 = 0 \rightarrow x^{2} = 1 \rightarrow x = \pm 1\ ,\ f^{''}(x) = 6x = 0 \rightarrow x = 0\]\[\lim_{x \rightarrow \pm \infty}{f(x) = \pm \infty}\text{تابع مجانب ندارد}\]

رسم توابع هموگرافیک

تابع \(\ f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\)را که در آن \(c \neq 0 \) و \(\frac{a}{c}\ \neq \frac{b}{d}\) باشد، تابع هموگرافیک می­گوییم. اگر c=0 , d\(\neq 0\) آنگاه تابع به یک خط به صورت \(f(x) = \frac{a}{d}x + \frac{b}{d}\) تبدیل می­شود. اگر \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\) آنگاه=k \(f(x) = \frac{k(cx + d)}{cx + d}\)تابع به تابع ثابت تبدیل می­شود. رسم این تابع هم شبیه رسم تابع چندجمله­ای است ولی این تابع حتما دو مجانب دارد. مجانب قائم آن ریشه­ی مخرج x=-\(\ \frac{d}{c}\) است و مجانب افقی آن حد در بینهایت تابع، y=\(\ \frac{a}{c}\) است.

مثال: جدول تغییرات و نمودار تابع \(\frac{X + 2}{X - 1}\) را رسم کنید.

\[{D_{f}\mathbb{= R -}\left\{ 1 \right\}\ ,\ X - 1 = 0 \rightarrow X = 1\text{مجانب قائم}\lim_{x \rightarrow \pm \infty}{f(x) = 1 \rightarrow Y = 1\text{محانب افقی}} \rightarrow f}^{'}(X) = \frac{-3}{{(X - 1)}^{2}} < 0 \rightarrow\text{تابع اکیدا نزولی}\]\[f^{''}(x) = \frac{6}{{(X - 1)}^{3}} \rightarrow X > 1 \rightarrow \text{تعقر روبه بالا} ,\ X < 1 \rightarrow \text{تعقر روبه پایین} \ \ \ \ \ \ x = 0 \rightarrow y = - 2 \\ \rightarrow (0, - 2) \text{محل برخورد با محور عرض ها} ,\ y = 0 \rightarrow X = - 2 \\ \rightarrow ( - 2,0)\ \ \text{محل برخورد با محور طول ها}\]

مثال: جدول تغییرات و نمودار تابع \(\frac{3X + 4}{- 2X + 1}\) را رسم کنید.

\[{D_{f}\mathbb{= R -}\left\{ \frac{1}{2} \right\}\ , - 2\ X + 1 = 0 \rightarrow X = \frac{1}{2}\text{مجانب قائم}\lim_{x \rightarrow \pm \infty}{f(x) = \frac{-3}{2} \rightarrow Y = \frac{-3}{2}\text{مجانب افقی}} \\ \rightarrow f}^{'}(X) = \frac{11}{{( - 2X + 1)}^{2}} > 0 \rightarrow \text{تابع اکیدا صعودی}\]\[f^{''}(x) = \frac{44}{{( - 2X + 1)}^{3}} \rightarrow X < \frac{1}{2} \rightarrow \text{تعقر رویه بالا} ,\ X > \frac{1}{2} \rightarrow \text{تعقر رویه پایین}\ \ \ \ \ \ \ x = 0 \rightarrow y = 4 \\ \rightarrow (0,4)\ \ \text{محل برخورد با محورعرض ها}\ ,\ y = 0 \rightarrow X = \frac{-4}{3} \\\rightarrow \left( \frac{-4}{3},0 \right)\ \ \text{محل برخورد با محور طول ها}\]