حل تمرین مشتق پذیری و پیوستگی-۳

فصل4: مشتق، درس2: مشتق­پذیری و پیوستگی

حل تمرینات پایانی درس2

11-نمودار توابع f,g را در شکل زیر در نظر بگیرید. 

الف) اگر h(x)=f(x).g(x) ، مطلوب است: \(h^{'}(1),h^{'}(2),h^{'}(3)\)

ب) اگر k(x)=\(\frac{\mathbf{f(x)}}{\mathbf{g(x)}}\)، مطلوب است: \(k^{'}(1),k^{'}(2),k^{'}(3)\)

بر اساس نمودار:

\[g(1) = 3\ ,\ g(2) = 2\ ,\ g(3) = 1\ ,\ g^{'}(x) = قرمز\ خط\ شیب = \frac{4 - 0}{0 - 4} = - 1 \rightarrow g^{'}(1) = g^{'}(2) = g^{'}(3) = - 1\]

\[f(1) = 2\ ,\ f(2) = 4\ ,\ f(3) = 2\ ,\ f^{'}(x) = آبی\  دربازه\ ی\ صفر\ تا\ دو\ خط\ شیب = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2 \rightarrow f^{'}(1) = 2\]

\[{x = 2\ گوشه  ای \rightarrow f}^{'}(2)\ موجود نیست \rightarrow h^{'}(2),\ k^{'}(2)\ موجود نیست\]

\[f^{'}(x) = آبی\ در\ بازه\ ی\ دو\ تا\ چهار\ خط\ شیب = \frac{0 - 4}{4 - 2} = - 2 \rightarrow f^{'}(3) = - 2\]

\[h^{'}(1) = f^{'}(1)g(1) + g^{'}(1)f(1) = 2 \times 3 + ( - 1)(2) = 6 - 2 = 4\]

\[h^{'}(3) = f^{'}(3)g(3) + g^{'}(3)f(3) = - 2 \times 1 + ( - 1)(2) = - 2 - 2 = - 4\]

\[k^{'}(1) = \frac{f^{'}(1)g(1) - g^{'}(1)f(1)}{{(g(1))}^{2}} = \frac{6 - ( - 2)}{9} = \frac{8}{9}\]

\[k^{'}(3) = \frac{f^{'}(3)g(3) - g^{'}(3)f(3)}{{(g(3))}^{2}} = \frac{-2 - ( - 2)}{1} = 0\]

12-اگر \(f^{'}(1) = 3\ ,g^{'}(1) = 5\) مطلوب است: \({(f + g)}^{'}(1)\) و \({(3f + 2g)}^{'}(1)\)

\[{(f + g)}^{'}(1) = f^{'}(1) + g^{'}(1) = 3 + 5 = 8\]

\[{(3f + 2g)}^{'}(1) = {3f}^{'}(1) + {2g}^{'}(1) = 9 + 10 = 19\]

13-اگر \(f(x)=\begin{cases}x^2 & x\le  0\\2x & x\gt 0\end{cases}\)نشان دهید \({\ f}{+}^{'}(0)\ ,\ {\ f}{-}^{'}(0)\)موجودند ولی\(f^{'}(0)\) موجود نیست.

\[f(0) = 0 \\{{\ f}_{+}^{'}(0) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{x - 0}{x} = 1\ ,\ {\ f}_{-}^{'}(0) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{x^{2} - 0}{x} = 0 }{{\ f}_{+}^{'}(0) \neq {\ f}_{-}^{'}(0) \rightarrow f^{'}\ (0)\ نیست\ موجود}]\\\]

14-مشتق توابع داده شده را بیابید.

\(\text{الف)}(f(x) = \left( 3x^{2} - 4 \right)(2x - 5)^{3} \rightarrow f^{'}(x) = 6x(2x - 5)^{3} + 3(2)(2x - 5)^{2}\left( 3x^{2} - 4 \right)\)

   \(\text{راهنمایی:}(\text{ضرب دو تابع})^{'} = (\text{مشتق تابع اول})(\text{تابع دوم}) + (\text{تابع اول})(\text{مشتق تابع دوم}),\ f(x) = u^{n} \rightarrow nu^{'}u^{n - 1}\)

\[(\text{تقسیم دو تابع})^{'} = \frac{صورت\ مشتق \times مخرج - مخرج\ مشتق \times صورت}{{(مخرج)}^{2}}\]

\[پ)f(x) = \sqrt{3x + 2}\left( x^{3} + 1 \right) \rightarrow f^{'}(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}\left( x^{3} + 1 \right) + 3x^{2}(\sqrt{3x + 2})\]

\[ت) f(x) = \frac{9x - 2}{\sqrt{x}}\ \rightarrow f^{'}(x) = \frac{9\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}(9x - 2)}{{(\sqrt{x})}^{2}}\]

15-مشتق توابع مثلثاتی زیر را بیابید.

\[\text{الف)}f(x) = \sin^{3}x{+ cos}^{2}x \rightarrow f^{'}(x) = 3\sin^{2}xcosx + 2cosx( - sinx)\]

\[\text{راهنمایی:}\ f(x) = u^{n} \rightarrow nu^{'}u^{n - 1}\ {(\text{مجموع دوتابع} )}^{'} = {(\text{تابع اول})}^{'} + {(\text{تابع دوم})}^{'}\ \]

\[\text{ب)}f(x) = \frac{1 - sinx}{1 + sinx}\ \rightarrow f^{'}(x) = \frac{-cosx(1 + sinx) - cosx(1 - sinx)}{{(1 - sinx)}^{2}}\]

\[\text{پ)}f(x) = \tan^{2}x - 2cosx \rightarrow f^{'}(x) = 2tanx\left( 1 + \tan^{2}x \right) - 2( - sinx)\]

\[\text{ت)}f(x) = sinxcos2x \rightarrow f^{'}(x) = cosx(cos2x) + ( - 2sin2x)(sinx)\]

\[\text{راهنمایی:}(\text{ضرب دو تابع})^{'} = (\text{مشتق تابع اول})(\text{تابع دوم}) + (\text{تابع اول})(\text{مشتق تابع دوم})\]

16-اگر \(f(x) = \sin^{2}x - cos2x\) ، مقادیر زیر را حساب کنید.

\[f^{"}\left( \frac{\pi}{6} \right) = ?\]

\(f^{'}(x) = 2sinxcosx - ( - 2sin2x) = sin2x + 2sin2x = 3sin2x \rightarrow f^{"}(x) = 3(2cos2x) = 6cos2x \rightarrow f^{"}\left( \frac{\pi}{6} \right) = 6cos\left( 2 \times \frac{\pi}{6} \right) = 6cos\left( \frac{\pi}{3} \right) = 6 \times \frac{1}{2} = 3\)

\[f^{"}\left( \frac{\pi}{2} \right) - f^{'}\left( \frac{\pi}{2} \right) = ?\]

\[6cos\left( 2 \times \frac{\pi}{2} \right) - 3sin\left( 2 \times \frac{\pi}{2} \right) = 6cos(\pi) - 3sin(\pi) = - 6 - 0 = - 6\]