حل تمرین مشتق پذیری و پیوستگی-۲

فصل4: مشتق، درس2: مشتق­پذیری و پیوستگی

حل تمرینات پایانی درس2

5-الف)با استفاده از نمودار \(f(x) = x^{2} + 2x + 3\) (شکل زیر)، مقادیر داده شده را به ترتیب صعودی مرتب کنید.

ب)صحت ادعای خود را در الف با محاسبه­ ی مشتق تابع f بررسی کنید. 

هر چه از 1- به سمت 3 حرکت می­کنیم، شیب خطوط مماس بیشتر می­شود. پس:

\[f^{'}(3) > f^{'}(2) > f^{'}(0) > f^{'}( - 1)\]

\[f^{'}(0),f^{'}(3),f^{'}( - 1),f^{'}(2\]

\[f^{'}(x) = 2x + 2 \rightarrow f^{'}(3) = (2 \times 3) + 2 = 8\ ,\ f^{'}(2) = 6\ ,\ f^{'}(0) = 2\ ,\ f^{'}( - 1) = 0\]

پ)تابع مشتق را رسم کنید.

6-مشتق ­پذیری تابع \(f(x)=\begin{cases}x^2+3 & x\geq 1\\2x & x<1\end{cases}\) را در x=1 بررسی کنید.

\[{\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = 4\ ,\ \lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = 2\ \rightarrow\text{تابع مشتق پذیر نیست}}{\rightarrow \text{تابع پیوسته نیست}} \rightarrow \text{تابع حد ندارد}\]

7-سه تابع مختلف مثال بزنید که مشتق برابر داشته باشند.

\[f(x) = x^{2} + 3 \rightarrow f^{'}(x) = 2x\ ,\ f(x) = x^{2} \rightarrow f^{'}(x) = 2x\ \ ,\ f(x) = x^{2} - 5 \rightarrow f^{'}(x) = 2x\]

8-اگر \(f(x) = \left| x^{2} - 4 \right|\)، مشتق­پذیری تابع را در نقاطی به طول 2,-2- به کمک تعریف مشتق بررسی کنید.

تابع در دامنه­اش پیوسته است. مشتق چپ و راست را بررسی می­کنیم:

\[f(2) = 0\ ,\ x \rightarrow 2^{+} \rightarrow \left| x^{2} - 4 \right| = x^{2} - 4\ ,\ x \rightarrow 2^{-} \rightarrow \left| x^{2} - 4 \right| = {- (x}^{2} - 4)\]

\[{\ f}_{+}^{'}(2) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\frac{x^{2} - 4 - 0}{x - 2} = \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = 4\]

\[{\ f}_{-}^{'}(2) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\frac{{- (x}^{2} - 4) - 0}{x - 2} = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\frac{-(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = - 4\]

\[{\ f}_{+}^{'}(2) \neq {\ f}_{-}^{'}(2) \rightarrow f^{'}\ (2)\ نیست\ موجود\]

\[f( - 2) = 0\ ,\ x \rightarrow {- 2}^{-} \rightarrow \left| x^{2} - 4 \right| = x^{2} - 4\ ,\ x \rightarrow - 2^{+} \rightarrow \left| x^{2} - 4 \right| = {- (x}^{2} - 4)\]

\[{\ f}_{+}^{'}( - 2) = \lim_{x \rightarrow {- 2}^{+}}\frac{f(x) - f(2)}{x - ( - 2)} = \lim_{x \rightarrow - 2^{+}}\frac{{- (x}^{2} - 4)}{x + 2} = \lim_{x \rightarrow {- 2}^{+}}\frac{-(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = 4\]

\[{\ f}_{-}^{'}( - 2) = \lim_{x \rightarrow {- 2}^{-}}\frac{f(x) - f(2)}{x - ( - 2)} = \lim_{x \rightarrow - 2^{-}}\frac{x^{2} - 4}{x + 2} = \lim_{x \rightarrow {- 2}^{-}}\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = - 4\]

\[{\ f}_{+}^{'}( - 2) \neq {\ f}_{-}^{'}( - 2) \rightarrow f^{'}\ (2)\ نیست\ موجود\]

9-مشتق تابع \(f(x) = \sqrt[3]{x^{2}}\) را به دست آورید. این تابع در چه نقطه­ای مماس قائم دارد؟

\[f(x) = x^{\frac{2}{3}}\ \rightarrow f^{'}(x) = \frac{2}{3}\ x^{\frac{-1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}\ \rightarrow f^{'}(0) = \infty \rightarrow x = 0\ قائم\ مماس\]

10-نمودار توابع f,g,h,t را به نمودار مشتق آن­ها نظیر کنید.

یک سهمی روبه پایین است و ضریب x2 منفی است پس مشتق آن یک خط با شیب منفی است:

\[{f(x) = - x}^{2} + 2x - 1 \rightarrow f^{'}(x) = - 2x + 2\]

تابع ثابت است پس مشتق آن صفر است

یک سهمی روبه بالا است و ضریب \(x^{2}\) مثبت است پس مشتق آن یک خط با شیب مثبت است:

\[{f(x) = x}^{2} + 2x - 1 \rightarrow f^{'}(x) = 2x + 2\]

یک خط با شیب منفی است. پس مشتق آن تابع ثابت با عرض از مبدا منفی است:

\[f(x) = - 2x - 1 \rightarrow f^{'}(x) = - 2\]