حل تمرین مشتق پذیری و پیوستگی-۱

فصل4: مشتق، درس2: مشتق­پذیری و پیوستگی

حل تمرینات پایانی درس2

1-دو تابع مانند f,g مثال بزنید که در x=2 پیوسته باشند ولی در این نقطه مشتق ­پذیر نباشند.

 نقطه ­ی 2 برای تابع، گوشه­ ای است و در این نقطه تابع مشتق­پذیر نیست.       \(f(x) = |x - 2|\)

 نقطه­ ی 2 برای تابع، گوشه­ ای است و در این نقطه تابع مشتق­ پذیر نیست.     \(f(x) = \left| x^{2} - 4 \right|\)

2-با محاسبه ­ی مشتق چپ و راست توابع داده شده در نقطه­ ی A، نشان دهید این توابع در نقطه ­ی A مشتق ­پذیر نیستند.

\[{\ f}_{+}^{'}(0) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{x^{2} - 0}{x} = 0\]

\[{\ f}_{-}^{'}(0) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{-x - 0}{x} = - 1\]

\[{\ f}_{+}^{'}(0) \neq {\ f}_{-}^{'}(0) \rightarrow f^{'}\ (0)\ نیست\ موجود\]

\[{\ f}_{+}^{'}(1) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{\frac{1}{x} - 1}{x - 1} = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{1 - x}{x(x - 1)} = - 1\]

\[{\ f}_{-}^{'}(1) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\frac{1 - 1}{x - 1} = \frac{0}{0^{-}} = 0\]

\[{\ f}_{+}^{'}(1) \neq {\ f}_{-}^{'}(1) \rightarrow f^{'}\ (1)\ نیست\ موجود\]

\[{\ f}_{+}^{'}(4) = \lim_{x \rightarrow 4^{+}}\frac{f(x) - f(4)}{x - 4} = \lim_{x \rightarrow 4^{+}}\frac{\frac{1}{2}x - 2}{x - 4} = \lim_{x \rightarrow 4^{+}}\frac{\frac{1}{2}(x - 4)}{x - 4} = \frac{1}{2}\]

\[{\ f}_{-}^{'}(4) = \lim_{x \rightarrow 4^{-}}\frac{f(x) - f(4)}{x - 4} = \lim_{x \rightarrow 4^{-}}\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \times \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} = \lim_{x \rightarrow 4^{-}}\frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{1}{4}\]

\[{\ f}_{+}^{'}(4) \neq {\ f}_{-}^{'}(4) \rightarrow f^{'}\ (4)\ نیست\ موجود\]

3-تابع \(f(x)=\begin{cases}5x-4 & x<0\\x^2 & 0\leq x\leq 3\\x+6 & x>3\end{cases}\) داده شده است.

الف)نمودار تابع f را رسم کنید. ب)نشان دهید \(f^{'}(0),f^{'}(3)\) وجود ندارد.

در x=0 تابع ناپیوسته است و \(f^{'}(0)\) موجود نیست.

\[{\ f}_{+}^{'}(3) = \lim_{x \rightarrow 3^{+}}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = \lim_{x \rightarrow 3^{+}}\frac{x + 6 - 9}{x - 3} = 1\]

\[{\ f}_{-}^{'}(3) = \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\frac{x^{2} - 9}{x - 3} = 6\]

\[{\ f}_{+}^{'}(3) \neq {\ f}_{-}^{'}(3) \rightarrow f^{'}\ (3)\ نیست\ موجود\]

پ)ضابطه ­ی تابع مشتق را بنویسید.

علامت مساوی برای 0 و 3 به این دلیل حذف شده است که تابع در این نقاط مشتق ­پذیر نیست.

\[f^{'}(x) = \left\{ \begin{array}{r} 5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x < 0 \\ 2x\ \ \ \ \ \ \ \ 0 < x < 3 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x > 3 \end{array} \right.\]

ت)نمودار \(f^{'}(x)\) را رسم کنید.

4-نمودار تابعی را رسم کنید که مشتق آن الف) در یک نقطه برابر صفر شود.

ب)در x=2 برابر 3 شود.

پ)در تمام نقاط مثبت باشد.

ت)در تمام نقاط یکسان باشد.

ث)در تمام نقاط منفی باشد.