حل تمرین حد در بی نهایت

فصل3: حدهای نامتناهی-حد در بی ­نهایت، درس2: حد در بی ­نهایت

حل تمرینات پایانی درس2

1-مفهوم هر یک گزاره­ های زیر را بیان کنید.

الف) \(\lim_{x \rightarrow + \infty}{F(x) = 2}\)

حد تابع وقتی x به سمت مثبت بی ­نهایت میل می­ کند برابر با 2 است، هر گاه با اختیار xهای به قدر کافی بزرگ(بزرگ­تر از هر عدد مثبت)، مقادیر f(x) به عدد 2 نزدیک شود.

ب) \(\lim_{x \rightarrow - \infty}{F(x) = 4}\)

حد تابع وقتی x به سمت منفی بی­ نهایت میل می­ کند برابر با 2 است، هر گاه با اختیار xهای به قدر کافی کوچک(کوچک­تر از هر عدد منفی)، مقادیر f(x) به عدد 4 نزدیک شود.

2-برای نمودار تابع f، مقادیر خواسته شده را به دست آورید. 

\(\lim_{x \rightarrow + \infty}{F(x) = 1 \rightarrow y = 1\ افقی\ مجانب\ ,\ \ }\ \lim_{x \rightarrow - \infty}{F(x) = - 1 \rightarrow y = - 1\ افقی\ مجانب,\ \ }\ \lim_{x \rightarrow 3^{+}}{F(x) = + \infty\ ,\ \ }\) \(\lim_{x \rightarrow 3^{+}}{F(x) = + \infty \rightarrow x = 3\ قائم\ مجانب\ ,\ \ }\ \lim_{x \rightarrow {- 2}^{+}}{F(x) = - \infty\ \rightarrow x = - 2\ قائم\ مجانب\ \ }\)

3-حاصل حدود زیر را به ­دست آورید.

\[\underset{x \rightarrow + \infty}{الف)\ \lim}{\frac{3x + 5}{x - 2} =}\underset{x \rightarrow + \infty}{\ lim}{\frac{3x}{x} = 3}\]

\[\underset{x \rightarrow - \infty}{ب)\ \lim}{\frac{t^{2} + 1}{t^{3} - 2t^{2} + 1} = \underset{x \rightarrow - \infty}{\ lim}{\frac{t^{2}}{t^{3}} =}}\underset{x \rightarrow - \infty}{\ lim}{\frac{1}{t} = 0}\]

\[\underset{x \rightarrow \pm \infty}{پ)\ \lim}{\frac{-x^{2} + 2x}{4x + 1} = \underset{x \rightarrow \pm \infty}{\ lim}{\frac{-x^{2}}{4x} =}}\underset{x \rightarrow \pm \infty}{\ lim}{\frac{-x}{4} = \pm \infty}\]

\[\text{ت})\lim_{x \rightarrow - \infty}{{(x}^{3} - 2x^{2}) =}\lim_{x \rightarrow - \infty}{x^{3} =} - ꝏ\]

4-مجانب­ های توابع داده شده را در صورت وجود به دست آورید.

\[الف)\ y = \frac{2x - 1}{x - 3}\ \rightarrow x - 3 = 0 \rightarrow x = 3 \rightarrow \underset{x \rightarrow 3}{\ lim}{\frac{2x - 1}{x - 3} = \frac{5}{0حدی} = ꝏ \rightarrow x = 3}\ قائم\ مجانب\]

\[\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{2x - 1}{x - 3} = 2 \rightarrow y = 2\ افقی\ مجانب\]

\(ب)\ y = \frac{x}{x^{2} - 4} \rightarrow x^{2} - 4 = 0 \rightarrow x^{2} = 4 \rightarrow x = \pm 2 \rightarrow \underset{x \rightarrow 2}{\ lim}{\frac{x}{x^{2} - 4} = \frac{2}{0حدی} = ꝏ \rightarrow \ \ \ \ \ x = 2\ قائم\ مجانب}\ ,\ \underset{x \rightarrow - 2}{\ lim}{\frac{x}{x^{2} - 4} = \frac{-2}{0حدی} = ꝏ \rightarrow x = - 2\ قائم\ مجانب}\)

\[\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{x}{x^{2} - 4} = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{x}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{1}{x} = 0 \rightarrow y = 0\ افقی\ مجانب\]

\(پ)\ y = \frac{1 + {2x}^{2}}{{1 - x}^{2}}\ \ \rightarrow {1 - x}^{2} = 0 \rightarrow x^{2} = 1 \rightarrow x = \pm 1 \rightarrow \underset{x \rightarrow 1}{\ lim}{\frac{1 + {2x}^{2}}{{1 - x}^{2}} = \frac{3}{0حدی} = ꝏ \rightarrow \ \ \ \ \ x = 1\ قائم\ \ \ مجانب\ },\ \underset{x \rightarrow - 1}{\ lim}{\frac{1 + {2x}^{2}}{{1 - x}^{2}} = \frac{3}{0حدی} = ꝏ \rightarrow \ \ \ \ \ x = - 1\ قائم\ \ \ مجانب\ }\)

\[\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{1 + {2x}^{2}}{{1 - x}^{2}} = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{2x^{2}}{- x^{2}} = - 2 \rightarrow y = - 2\ افقی\ مجانب\]

\[ت)\ y = \frac{2x}{{1 + x}^{2}}\ \ \rightarrow {1 + x}^{2} = 0 \rightarrow ندارد\ ریشه \rightarrow ندارد\ قائم\ مجانب\]

\(\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{2x}{{1 + x}^{2}} = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{2x}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{2}{x} = 0 \rightarrow y = 0\text{مجانب افقی}\) 

5-نمودار تابع f را به گونه­ ای رسم کنید که تمام شرایط زیر را داشته باشد.

\(f(1)=f(-2)=0(\text{الف}\)
\(\lim_{x \to 0} f(x)=-\infty\ ,\ \lim_{x \to 2^{+}} f(x)=+\infty(\text{ب}\)
\(\text{مجانب افقی}y=-1(\text{پ}\)

\[\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty \to \begin{cases} \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty \\ \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty \end{cases} \]