حل تمرین توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم-۲

فصل1: تابع، درس2: تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش ­پذیری و تقسیم

حل تمرینات پایانی درس2

4-آیا تابعی وجود دارد که در یک فاصله، هم صعودی و هم نزولی باشد؟

بله. تنها تابعی که هم صعودی است و هم نزولی تابع ثابت (f(x)=c) است.

5-اگر توابع f و g در یک فاصله اکیداً صعودی باشند، نشان دهید که تابع f + g نیز در این فاصله اکیداً صعودی است. برای تابع f - g چه می توان گفت؟ 

\[\begin{aligned}x_1<x_2 &\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\\x_1<x_2 &\Rightarrow g(x_1)<g(x_2)\end{aligned}\quad\underrightarrow{+}\quad f(x_1)+g(x_1)<f(x_2)+g(x_2)\quad\Rightarrow\quad(f+g)(x_1)<(f+g)(x_2)\Rightarrow\text{f+g اکیدا صعودی}\]

در مورد f-g این حکم همواره درست نیست.

\(f(x)=2x\text{اکیدا صعودی}\ , \ g(x)=4x\text{اکیدا صعودی}\to f-g=-2x\text{اکیدا نزولی}\)

6-اگر باقی­مانده تقسیم چندجمله­ ای\(x^{3}+kx^{2}+2\) بر x -2 برابر با 6 باشد، k را تعیین کنید.

x-2=0 → x=2 → \(2^{3}\)+k×\(2^{2}\)+2=6 → 4k=-4 → k=-1

7-مقادیر a و b را طوری تعیین کنید که چندجمله­ ای \(x^{3}+ax^{2}+bx+1\) بر x -2 و x +1 بخش­ پذیر باشد.

\(x=2: 2^3+a\times2^2+b\times2+1=0 \to 4a+2b=-9\)    و    \(x=-1: (-1)^3+a-b+1=0 → a-b=0 → a=b\)

\(4a+2a=-9 \rightarrow 6a=-9 \rightarrow a=b=-\frac{9}{6} = - \frac{3}{2}\)

8-هر یک از چندجمله ­ای­ های زیر را بر حسب عامل­ های خواسته شده تجزیه کنید.

الف) \(x^{6}-1\) با عامل x-1 

\(x^6-1=(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)\)

ب) \(x^{6}-1\) با عامل x+1 

\(x^{6}-1=(x+1)(x^{5}-x^{4}+x^{3}-x^{2}+x-1)\)

پ) \(x^{5}+32\) با عامل x+2

\(x^{5}+32=x^{5}+2^{5}=(x+2)(x^{4}-2x^{3}+4x^{2}-8x+16)\)

9-الف) فرض کنید تابع f در یک بازه اکیدا نزولی باشد و a,b متعلق به این بازه باشند. اگر f (a) ≤ f (b) نشان دهید که a ≥ b 

برهان خلف: فرض می ­کنیم a<b :

\(a\lt b\to f\text{اکیدا نزولی}\to f(a)\gt f(b)\to \text{که خلاف فرض است}\to \text{باید}a\gt b\)

ب) اگر \((\frac{1}{2})^{3x-2} \leq \frac{1}{64}\)حدود x را بیابید.

\((\frac{1}{2})^{3x-2} \leq (\frac{1}{2})^{6} \to \text{تابع نمایی} (\frac{1}{2})^{x} \text{اکیدا نزولی است} \to (\frac{1}{2})^{a}\leq(\frac{1}{2})^{b} \to a\geq b \to 3x-2\geq 6 \to x \geq \frac{8}{3}\)

نکته: تابع نمایی \(a^{x}\) برای a > 1 اکیداصعودی و برای  a < 1 اکیدانزولی است.