حل تمرین تناوب و تانژانت-۱

فصل2: مثلثات، درس1: تناوب و تانژانت

حل تمرینات پایانی درس یک

1-دوره­ ی تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم هر یک از توابع زیر را به دست ­آورید.

\(1)y = 1 + 2sin7x \rightarrow y = c + asinbx \rightarrow a = 2, b = 7, c = 1\)
\(T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{7}, Max = |a| + c = |2|+1=3, Min = - |a| + c = -2+1=-1\)

\(2)y = \sqrt{3} - \cos \frac{\pi}{2}x \rightarrow y = c + a \cos bx \rightarrow a = -1, b = \frac{\pi}{2}, c = \sqrt{3}\)

\(T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4\ , Max = |a| + c = |-1| + \sqrt{3} = 1 + \sqrt{3}\ ,Min = -|a| + c= -|-1| + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1\)

\(3) y = -\pi \sin(\frac{x}{2}) - 2 \to y = c + a\sin bx \to a = -\pi, b = \frac{1}{2}, c = -2\)

\(T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi , Max =|a| + c = |-\pi|-2 = \pi-2, Min = -|a| + c = -\pi-2\)

 \(4)y = \frac{-3}{4} \cos 3x \rightarrow y = c + a \cos bx \rightarrow a = \frac{-3}{4}, b = 3, c = 0\)
\(T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{3}, Max = |a| + c = |\frac{-3}{4}| + 0 = \frac{3}{4}, Min = -|a| + c = \frac{-3}{4}\)

2-هر یک از توابع داده شده را با نمودارهای زیر نظیر کنید.

الف) \(y = sin\pi x\)

\(y = c + a\sin bx \to a = 1, b = \pi, c = 0\ \text{ شروع بین ماکزیمم و مینیمم}\)
\(T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{\pi} = 2, \text{Max} = |a| + c = 1 + 0 = 1, \text{Min} = -|a| + c = -1 + 0 = -1\)

ب) \(y = 2 - \cos\frac{1}{2}x\)

\(y = c + a\cos bx \rightarrow a = -1, b = \frac{1}{2}, c = 2\ \text{شروع در ماکزیمم یا مینیمم }\) 
\(T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi, \text{Max} = |a| + c = 1 + 2 = 3, \text{Min} = -|a| + c = -1 + 2 = 1\)

پ) \(y = sin2x\)

\(y = c + a\ sinbx  \rightarrow a = 1, b = 2, c = 0\  \text{شروع بین ماکزیمم و مینیمم}\)
\(T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{2} = \pi , \text{Max} = |a| + c = 1 + 0 = 1 , \text{Min} = -|a| + c = -1 + 0 = -1\)

ت) \(y = 1 - \cos 2x\)

\(y = c + a\cos bx \rightarrow a = -1, b = 2, c = 1 \text{شروع در ماکزیمم یا مینیمم}\)
\(T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{2} = \pi, \text{Max} = |a| + c = 1+1=2, \text{Min} = -|a| + c = -1+1=0\)

3-در هر مورد، توابع مثلثاتی با دوره­ ی تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم داده شده را بنویسید.

\(\text{الف})T = \pi , max = 3 , min = -3\)
\[T = \frac{2\pi}{|b|} = \pi \rightarrow |b| = 2 \rightarrow b = \pm 2 , c = \frac{max + min}{2} = \frac{3 - 3}{2} = 0 , |a| = \frac{max - min}{2} = \frac{3 + 3}{2}= \frac{6}{2} = 3 \rightarrow a = \pm 3\]

چون نموداری در دسترس نیست، سینوسی یا کسینوسی بودن ضابطه و مقادیر مثبت و منفی قابل قبول است. علامت b برای کسینوس همواره مثبت است.

\(y = 3\sin 2x \ ,\  y = 3\sin(-2x) \ ,\  y = -3\sin 2x\ , \ y = -3\sin(-2x)\)
\(y = 3\cos 2x \ ,\ y = -3\cos 2x\)

\(\text{ب})T = 3, max = 9, min = 3\)
\[T = \frac{2\pi}{|b|} = 3 \rightarrow |b| = \frac{2\pi}{3} \rightarrow b = \pm \frac{2\pi}{3}, c = \frac{max + min}{2} = \frac{9 + 3}{2} = 6, |a| = \frac{max - min}{2} = \frac{9 - 3}{2}= \frac{6}{2} = 3 \rightarrow a = \pm 3\]
\(y = 3sin\frac{2\pi}{3}x \ ,\  y = 3 sin(-\frac{2\pi}{3}x) \ ,\  y = -3sin\frac{2\pi}{3}x \ ,\ y = -3 sin(-\frac{2\pi}{3}x)\ ,\ y = 3cos\frac{2\pi}{3}x \ ,\  y = -3cos\frac{2\pi}{3}x\)

\(\text{پ})T = 4\pi, max = -1, min = -7\)
\[T = \frac{2\pi}{|b|} = 4\pi \to |b| = \frac{2\pi}{4\pi} \to b = \pm \frac{1}{2}, c = \frac{max + min}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = -4\ , \ |a| = \frac{max - min}{2}= \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \to a = \pm 3\]
\(y = 3\sin \frac{1}{2}x - 4\ ,\  y = 3 \sin \left( -\frac{1}{2}x \right) - 4\ ,\  y = -3\sin \frac{1}{2}x - 4\ ,\ y = -3 \sin \left( -\frac{1}{2}x \right) - 4\ ,\  y = 3\cos \frac{1}{2}x - 4\ ,\  y = -3\cos \frac{1}{2}x - 4\)

\(\text{ت})T = \frac{\pi}{2}\ ,\  max = 1\ ,\  min = -1\)
\(T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{\pi}{2} \rightarrow |b| = 4 \rightarrow b = \pm2\ ,\  c = \frac{max + min}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0\ ,\  |a| = \frac{max - min}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1\rightarrow a = \pm1\)
\(y = \sin4x\ ,\ y = \sin(-4x)\ ,\ y = -\sin4x\ ,\ y = -\sin(-4x)\)
\(y = \cos4x\ ,\ y = -\cos4x\)