حل تمرین اکسترمم های تابع و توابع صعودی و نزولی-۲

فصل5: کاربردهای مشتق، درس1: اکسترمم ­های تابع و توابع صعودی و نزولی

حل تمرینات پایانی درس1

6- ب) \(f(x){= x}^{3} - 3x\ ,\ \lbrack - 1,2\rbrack\)

\[f^{'}(x) = 3x^{2} - 3 = 0 \rightarrow x^{2} = 1 \rightarrow x = \pm 1\]

نقاط ابتدا و انتهای بازه توپر یا بسته هستند و به دلیل ناپیوستگی، بحرانی هستند. پس\(x=-1 , 1,2\) بحرانی هستند.\[f( - 1) = - 1 + 3 = 2\ ,\ f(\ 1) = \ 1 - \ 3 = - 2\ ,\ f(2) = 8 - 6 = 2 \]

\((-1,2)\) و \((2,2) \)ماکزیمم مطلق و\((1,-2)\)مینیمم مطلق هستند.

x=-1 ماکزیمم نسبی نیست چون ابتدای بازه است و همسایگی چپ ندارد. \((1,-2)\) مینیمم نسبی هم است.

7-پ) \(f(x) =  \begin{cases} \sqrt{\ x}\ \ \ \ \ \ 0 \leq x < 2 \\ 4 - x\ \ \ \ \ \ \ \ \ x \geq 2 \end{cases} \ \)

بهترین راه برای مشخص کردن اکسترمم ­های نسبی و مطلق در توابع چند ضابطه­ ای، رسم آن­ها است.

دامنه­ ی تابع \([0,+\infty )\) است. x=0 ابتدای بازه و به دلیل ناپیوستگی، بحرانی است. x=2 ناپیوسته و بحرانی است. (2,2) ماکزیمم مطلق و نسبی است. مینیمم نسبی ندارد. مقادیر تابع به سمت \(-\infty \) می­رود و مینیمم مطلق هم ندارد.

7-مقادیر a,b را طوری بیابید که تابع \(f(x){= x}^{3} + ax + b\) در نقطه­ی (1,2) ماکزیمم نسبی داشته باشد.

\[{(1,2)\text{ماکزیمم نسبی} \rightarrow f(1) = 2\ ,\ f}^{'}(1) = 0 \rightarrow f(1) = 1 + a + b = 2 \rightarrow a + b = 1 \]\[f^{'}(x) = 3x^{2} + a \rightarrow f^{'}(1) = 3 + a = 0 \rightarrow a = - 3 \rightarrow - 3 + b = 1 \rightarrow b = 4\]

8-نمودار تابعی مانند f را به گونه­ای رسم کنید که در تمام شرایط زیر صدق کند:

\[f(0) = 0\ ,\ f(4) = - 2\ ,\ f( - 1) = 5\ ,\ (1,1) \text{ماکزیمم نسبی} \]

9-یک برگه ­ی کاغذی مستطیل شکل با اضلاع x,y در اختیار داریم. با بریدن چهار مربع از گوشه ­های آن و تا زدن اضلاع، یک مکعب ساخته شده است. اگر xy=100cm2 و h=2cm مقادیر x,y را طوری پیدا کنید که حجم مکعب ماکزیمم شود.

\[V = (x - 2h)(y - 2h)h = 2(x - 4)(y - 4) \rightarrow xy = 100 \rightarrow y = \frac{100}{x} \rightarrow V = 2(x - 4)(\frac{100}{x} - 4)\]

\([V = (2x - 8)\left( \frac{100}{x} - 4 \right) \rightarrow x - 4 \geq 0\ ,\ y - 4 \geq 0 \rightarrow x \geq 4\ ,\ y \geq 4 \rightarrow \frac{100}{x} \geq 4 \rightarrow 4x \leq 100 \rightarrow x \leq 25]\)

\[\rightarrow 4 \leq x \leq 25 \rightarrow V^{'} = 2\left( \frac{100}{x} - 4 \right) + (2x - 8)\left( \frac{-100}{x^{2}} \right) = \frac{2(100 - 4x)}{x} - \frac{100(2x - 8)}{x^{2}}\]\[V^{'} = \frac{2x(100 - 4x) - 100(2x - 8)}{x^{2}} = \frac{-8x^{2} + 800}{x^{2}} = 0 \rightarrow 8x^{2} = 800 \rightarrow x^{2} = 100 \rightarrow x = 10\]\[V(4) = (8 - 8)\left( \frac{100}{25} - 4 \right) = 0\ ,\ V(10) = (20 - 8)\left( \frac{100}{10} - 4 \right) = 72\ ,\ V(25) \\ = (50 - 8)\left( \frac{100}{25} - 4 \right) = 0\]

x=10 ماکزیمم مطلق است. x=10 , y=10