حل تمرین آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه ای تغییر-۲

فصل4: مشتق، درس3: آهنگ متوسط و آهنگ لحظه­ ای تغییر

حل تمرینات پایانی درس3

7-یک توده باکتری پس از t ساعت دارای جرم \(m(t) = \sqrt{t} + 2t^{3}\) گرم است.

الف) جرم این توده در بازه­ی زمانی \(3 \leq t \leq 4\) چند گرم افزایش می­یابد؟\[m(4) = \sqrt{4} + 2 \times 4^{3} = 130\ ,\ m(3) = \sqrt{3} + 2 \times 3^{3} = 55.7 \rightarrow 130 - 55.7 = 74/3 \]ب) آهنگ رشد جرم این توده باکتری در لحظه­ی t=3 چقدر است؟ \[m^{'}(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} + 6t^{2} \rightarrow m^{'}(3) = \frac{1}{2\sqrt{3}} + 6 \times 9 = 54/29\]8-گنجایش ظرفی 40 لیتر مایع است. در لحظه ­ی t=0 سوراخی در ظرف ایجاد می­شود. اگر حجم مایع باقیمانده در ظرف پس از t ثانیه از رابطه ­ی \(V = 40{(1 - \frac{t}{100})}^{2}\) به دست آید، الف) آهنگ تغییر متوسط حجم مایع در بازه­ی زمانی \([0,1]\) چقدر است؟\[V(0) = 40\left( 1 - \frac{0}{100} \right)^{2} = 40\ ,\ V(1) = 40\left( 1 - \frac{1}{100} \right)^{2} = 40 \times 0.98 = 39/2 \]\[\frac{V(1) - V(0)}{1 - 0} = \frac{39/2 - 40}{1} = - \frac{0}{8} \rightarrow \text{با گذشت زمان حجم مایع در حال کاهش است}\]

ب) در چه زمانی آهنگ تغییر لحظه­ای حجم برابر با آهنگ متوسط آن در بازه­ی \([0,100]\) است؟\[V(100) = 40\left( 1 - \frac{100}{100} \right)^{2} = 0 \rightarrow \frac{V(100) - V(0)}{100 - 0} = \frac{0 - 40}{100} = - \frac{4}{10}\]\[V^{'}(t) = 40(2)\left( 1 - \frac{t}{100} \right)\left( - \frac{1}{100} \right) = - \frac{80}{100}\left( 1 - \frac{t}{100} \right) = - \frac{4}{10} \rightarrow \left( 1 - \frac{t}{100} \right) = \frac{1}{2} \rightarrow \frac{t}{100} = \frac{1}{2} \rightarrow t = 50\]