حدهای نامتناهی

فصل3: حدهای نامتناهی-حد در بی­نهایت، درس1: حدهای نامتناهی

جلسه شانزده: حد نامتناهی

مروری بر حد

همسایگی: هر بازه ­ی باز شامل عدد حقیقی x یک همسایگی برای x است. به عبارت دیگر، اگر \(x\in (a,b)\)  آنگاه \((a,b)\) یک همسایگی برای x است. برای مثال، (2,5) و (0,4) دو همسایگی برای \(x=3\) هستند.

همسایگی محذوف: اگر بازه ­ی \((a,b)\) یک همسایگی برای x باشد، آنگاه مجموعه­ ی \((a,b) - \{ x\}\) یک همسایگی محذوف برای x است. برای مثال، {3}-(1,5) یک همسایگی محذوف برای 3 است.

همسایگی چپ و راست: اگر r یک عدد مثبت باشد، بازه­ ی \((x,x+r)\) یک همسایگی راست و \((x-r,x)\) یک همسایگی چپ برای x است. برای مثال، (2,5) یک همسایگی راست برای 2 و (0,2) یک همسایگی چپ برای 2 است.

حد تابع

اگر تابع \(f(x)\) در همسایگی عدد a تعریف شده باشد(به جز احتمالا در x=a )-وجود همسایگی الزامی است ولی همسایگی می­تواند محذوف باشد-حد تابع f وقتی مقادیر x به a نزدیک می­شود، بابر با عدد حقیقی L است، هر گاه مقادیر f را به هر اندازه ­ی دلخواه به L نزدیک کنیم، به شرط آن­که مقادیر x به اندازه­ ی کافی به a نزدیک شود. و مینویسیم:

\(\lim_{x \rightarrow a}{f(x) = L}\)

اگر با مقادیر بزرگ­تر از a به آن نزدیک شویم، حد راست و اگر با مقادیر کوچک­تر از a به آن نزدیک شویم، حد چپ را خواهیم داشت:

\(\lim_{x \rightarrow a^{+}}{f(x) = L}\ ,\lim_{x \rightarrow a^{-}}{f(x) = L}\)
 

برای مثال در هر سه شکل زیر،

\(\lim_{x \rightarrow 3^{+}}{f(x) =}\lim_{x \rightarrow 3^{-}}{f(x) =}\lim_{x \rightarrow 3}{f(x) = 6}\)

حد نامتناهی

فرض کنیم تابع f در یک همسایگی محذوف a تعریف شده باشد. می­توان مقدارهای f(x) را از هر عدد مثبت دلخواه بزرگتر کرد، مشروط بر آنکه x به قدر کافی به a نزدیک اختیار شود:

\[\lim_{x \rightarrow a}{f(x) = + ꝏ}\]

فرض کنیم تابع f در یک همسایگی محذوف a تعریف شده باشد. می­توان مقدارهای f(x) را از هر عدد منفی دلخواه کوچک­تر کرد، مشروط بر آنکه x به قدر کافی به a نزدیک اختیار شود:

\[\lim_{x \rightarrow a}{f(x) = - ꝏ}\]

در تعریف بالا اگر x به قدر کافی با مقادیر بزرگ­تر از a به a نزدیک شود حد راست و اگر x به قدر کافی با مقادیر کوچک­تر از a به a نزدیک شود حد چپ نامیده می­شود. و خواهیم داشت:

مثال: با توجه به نمودارهای داده شده، مقادیر حدهای خواسته شده را به دست آورید.

\([\lim_{x \rightarrow 0^{+}}{g(x) = - ꝏ\ ,\ \ \ }\lim_{x \rightarrow 2^{+}}{f(x) = + ꝏ\ ,\ \ \ }\lim_{x \rightarrow 2^{-}}{f(x) = - ꝏ\ \ \ }]\)

\([\lim_{x \rightarrow \frac{-\pi}{2}^{+}}{h(x) = - ꝏ\ ,\ \ \ }\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}{h(x) = - ꝏ\ ,\ \ \ }\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}{h(x) = + ꝏ\ ,\ \ \ }]\)