جهت تقعر نمودار تابع

فصل5: کاربردهای مشتق، درس2: جهت تقعر نمودار تابع و نقطه­ی عطف آن

جلسه­ ی سی و دو: جهت تقعر نمودار تابع

تقعر نمودار تابع : وقتی از تقعر نمودار حرف می­زنیم، منظور این است که دهانه­ ی نمودار به سمت بالا است یا پایین. اگر دهانه­ ی نمودار به سمت بالا باشد، گفته می­شود جهت تقعر نمودار تابع به سمت بالا است و اگر دهانه­ ی نمودار به سمت پایین باشد، جهت تقعر نمودار تابع به سمت پایین است. در نمودارهای زیر جهت تقعر تابع f روبه پایین و جهت تقعر تابع g روبه بالا است.

تقعر و خطوط مماس بر منحنی: در شکل­ های زیر ملاحظه می­شود که اگرجهت تقعر نمودار رو به بالا باشد، خطوط مماس بر نمودار، زیر نمودار قرار می­گیرند و اگر جهت تقعر نمودار رو به پایین باشد، خطوط مماس بر نمودار، روی نمودار قرار می­گیرند. شیب خطوط مماس هم در حالت تقعر رو به بالا، در حال افزایش است و در حالت تقعر رو به پایین، در حال کاهش است.

نکته: وقتی می­گوییم شیب در حال کاهش است، یعنی مشتق نزولی است و مشتق آن یعنی مشتق دوم منفی است. وقتی می­گوییم شیب در حال افزایش است، یعنی مشتق صعودی است و مشتق آن یعنی مشتق دوم مثبت است.

آزمون مشتق دوم: فرض کنیم مشتق دوم تابع f در بازه­ ی بازی مانند (a,b) موجود باشد، آنگاه:

الف) اگر به ازای هر x در این بازه، \(f^{''}(x) > 0\) ، آنگاه نمودار f روی این بازه تقعر روبه بالا دارد.

ب) اگر به ازای هر x در این بازه، \(f^{''}(x) < 0\) ، آنگاه نمودار f روی این بازه تقعر روبه پایین دارد.

پ) اگر به ازای هر x در این بازه، \(f^{''}(x) = 0\) ، آنگاه آزمون بی ­نتیجه است.

نکته: برای تشخیص جهت تقعر نمودار تابع از روی ضابطه­ ی آن، مشتق دوم تابع را تعیین علامت می­کنیم.

مثال: نمودار تابع f را با اطلاعات زیر رسم کنید.

\[f(0) = f(1) = f(2) = 0\ ,\ ( - ꝏ,1) \rightarrow f^{''}(x) < 0,\ (1, + ꝏ) \rightarrow f^{''}(x) > 0\]\[( - ꝏ,1) \rightarrow f^{''}(x) < 0 \rightarrow \text{تقعر روبه بالا} ,\ (1, + ꝏ) \rightarrow f^{''}(x) > 0 \rightarrow \text{تقعر روبه پایین}\]

مثال: جهت تقعر توابع زیر را در دامنه­ ی تعریفشان به دست آورید.

\[الف)\ f(x) = \frac{1}{x}\]\[D_{f}\mathbb{= R -}\left\{ 0 \right\}\ ,\ f^{'}(x) = \frac{-1}{x^{2}} \rightarrow f^{''}(x) = \frac{2x}{x^{4}} = \frac{2}{x^{3}}\]\[x > 0 \rightarrow f^{''}(x) > 0 \rightarrow \text{تقعر روبه بالا} ,\ x < 0 \rightarrow f^{''}(x) < 0 \rightarrow \text{تقعر روبه پایین} \]
\[ب)\ f(x) = x^{3} + 3x^{2} + 1\]\[f^{'}(x) = 3x^{2} + 6x \rightarrow f^{''}(x) = 6x + 6 = 0 \rightarrow x = - 1\]\[x > - 1 \rightarrow f^{''}(x) > 0 \rightarrow \text{تقعر روبه بالا} ,\ x < - 1 \rightarrow f^{''}(x) < 0 \rightarrow \text{تقعر روبه پایین}\]