توابع صعودی و توابع نزولی

فصل1: تابع، درس2: تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش پذیری و تقسیم

جلسه هفت: توابع صعودی و توابع نزولی 

تابع صعودی: اگر برای هر دو نقطه ­ی am از دامنه ­ی تابع fکه a < b، داشته باشیم f(a) ≤ f(b)، آنگاه f را تابعی صعودی می­ نامیم. در فاصله ­ای که یک تابع صعودی است، با حرکت روی نمودار (از چپ به راست)، رو به پایین نخواهیم رفت.

تابع نزولی: اگر برای هر دو نقطه ­ی am از دامنه ­ی تابع f که a < b، داشته باشیم f(a) ≥ f(b)، آنگاه f را تابعی نزولی می­ نامیم. در فاصله ­ای که یک تابع نزولی است، با حرکت روی نمودار (از چپ به راست)، رو به بالا نخواهیم رفت.

نکته: به تابعی که در یک بازه فقط صعودی یا فقط نزولی باشد، یکنوا می گوییم.

نکته: تابع ثابت در یک بازه، هم صعودی و هم نزولی محسوب می شود.

تابع اکیدا صعودی: اگر برای هر دو نقطه­ ی a و b از دامنه ­ی تابع f که a < b، داشته باشیم f(b) > f(a)، آنگاه f را تابعی اکیدا صعودی می ­نامیم. در فاصله ­ای که یک تابع اکیدا صعودی است، با حرکت روی نمودار (از چپ به راست)، همواره رو به بالا خواهیم رفت.

تابع اکیدا نزولی: اگر برای هر دو نقطه ی a و b از دامنه­ ی تابع f که a < b، داشته باشیم f(a) > f(b)، آنگاه f را تابعی اکیدا نزولی می ­نامیم. در فاصله ­ای که یک تابع اکیدا نزولی است، با حرکت روی نمودار (از چپ به راست)، همواره رو به پایین خواهیم رفت.

نکته: به تابعی که در یک بازه فقط اکیدا صعودی یا فقط اکیدا نزولی باشد، اکیدا یکنوا می ­گوییم.

مثال: نمودار تابع f در شکل زیر رسم شده است. وضعیت یکنوایی آن را بررسی کنید.

تابع f در بازه‌ی \((-\infty,-1]\)ثابت(هم صعودی و هم نزولی)، در بازه‌ی \([-1,0]\)اکیدا نزولی و در بازه‌ی \([0,+\infty)\) اکیدا صعودی است.

مثال: نمودار توابع زیر را رسم کنید.

الف) در چه بازه ­هایی این توابع، اکیدا صعودی و در چه بازه ­هایی اکیدا نزولی هستند؟

ب) کدام یک از آن­ها در تمام دامنه خود، اکیدا یکنوا است؟

مثال: اگر log(x +1) ≤  log(2x -3)، حدود x را به دست آورید.

تابع log با مبنای بزرگتر از 1، یک تابع اکیدا صعودی است.

\(\text{f(x) اکیدا صعودی}\to f(a)\lt f(b)\to a\lt b\to x+1\le 2x-3\to x\ge 4\)

 از طرفی عبارت جلوی لگاریتم باید مثبت باشد:

\(x+1\gt 0\to x\gt-1\ , \ 2x-3\gt 0\to x\gt\frac{3}{2}\to x\ge 4\)

نکته: تابع log با مبنای کوچکتر از 1، یک تابع اکیدا نزولی است.