توابع درجه ۳

فصل1: تابع، درس2: تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش ­پذیری و تقسیم

جلسه شش: تابع درجه سوم

تابع چند جمله ­ای: فرض کنید n یک عدد صحیح نامنفی و\(a_{n},a_{n-1},...,a_{2},a_{1},a_{0}\) اعداد حقیقی باشند که \(a_{n}\neq 0\)، تابع f(x) که به صورت زیر تعریف می­ شود، تابع چندجمله ­ای از درجه n نامیده می ­شود.

\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0\)

تابع ثابت f(x)=c، یک تابع چندجمله ­ای از درجه صفر و خط f(x)=mx+b که \(m\neq 0\)، یک تابع خطی از درجه ­ی 1 است. به همین ترتیب سهمی به معادله­ ی \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) یک تابع چند جمله ­ای از درجه­ ی2 است.

مثال: در زیر چند تابع چندجمله­ ای نوشته شده ­اند. درجه هر کدام را مشخص کنید.

\(\text{3 درجه‌ی} ← h(x) = x^3+x -4\) 
\(\text{ تابع خطی، درجه‌ی 1} ← f(x) = 2x -3\)
\(\text{2 درجه‌ی} ← x^2-2x+4← g(x) = (x-1)^2+3\) 
\(\text{4 درجه‌ی }← n(x) =2x -x^4\)
\(\text{5 درجه‌ی }← x^2 \times x^3=x^5← p(x) = x^2(1-x)^3\)
\(\text{تابع ثابت، درجه‌ی صفر }← m(x) = 5\)

رسم تابع \(y=x^{3}\): با نقطه یابی و مقادیر جدول زیر برای x,y نمودار را رسم می ­کنیم.

مقایسه­ ی توابع \(y=x^{3}\) و \(y=x^{2}\) : در فاصله­ ی \((0,1)\) مقادیر \(x^{3}\) از مقادیر\(x^{2}\) کمتر است و نمودار تابع \(y=x^{3}\) پایین ­تر از نمودار \(y=x^{2}\) قرار دارد. در بازه­ ی\((1,+\infty)\) مقادیر\(x^{3}\) بزرگتر از مقادیر \(x^{2}\) است و نمودار تابع \(x^{3}\) بالاتر از نمودار تابع\(x^{2}\) قرار دارد.

مثال: نمودار هر یک از توابع زیر را به کمک نمودار تابع \(y=x^{3}\) رسم کنید.

الف) \(y=(x+1)^{3}\)

ب)\(y=x^{3}+1\)

پ) \(y=x^{3}-3x^{2}+3x\)

با اضافه و کم کردن 1، طرف دوم اتحاد مکعب دو جمله ­ای را ایجاد می­ کنیم:

\(y=x^{3}-3x^{2}+3x-1+1\to y=(x-1)^{3}+1\)

\(\text{اتحاد  مکعب دو جمله ای}\to (x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1\ , \ (x+1)^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1\)