تناوب-1

فصل2: مثلثات، درس1: تناوب و تانژانت

جلسه ده: تناوب-1

تابع متناوب: تابع f را متناوب می ­نامیم هرگاه یک عدد حقیقی مثبت مانند T موجود باشد به طوری که برای هر\(x\in D_{f}\) داشته باشیم\(f(x \pm T) = f(x)\  و \ x \pm T \in D_f\). کوچکترین عدد مثبت T را با این خاصیت، دوره­ ی تناوب f می ­نامیم. برای مثال در تابع sinx ، sin(x+2π)=sinx و تابع در فواصل 2π تکرار می ­شود در نتیجه دوره­ ی تناوب این تابع، 2π است.

در نمودار بالا، تابع در فواصلی به طول 3 تکرار می ­شود و دوره­ ی تناوب تابع، T=3 است. مقادیر تابع نیز بین 0 و 4 تغییر می ­کند که کمترین مقدار تابع 0 و بیشترین مقدار آن 4 است.

دوره­ ی تناوب توابع مثلثاتی: دوره ­ی تناوب توابع y=sin x و y=cos x برابر با 2π است و به طور کلی دوره­ ی تناوب توابع به شکل y=asin(bx+d)+c  و y=acos(bx+d)+c برابر است با \(\frac{2\pi}{|b|}\) . مقادیر ماکزیمم و مینیمم توابع گفته شده نیز به صورت زیر محاسبه می­ شود:

Max = \(|a|\) + c , Min = - \(|a|\) + c

مثال: دوره ­ی تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم هر یک از توابع زیر را مشخص نمایید.

الف) y=3sin(2x)-2

T=\(\ \frac{2\pi}{|b|}\) = \(\frac{2\pi}{|2|}\) = π , Max = \(|a|\) + c = \(|3|\)-2=1 , Min = - \(|a|\) + c = - \(|3|\) -2 = -5

ب)\(y=-\frac{1}{4}cos(πx)\)

\(​T=(\frac{2\pi}{|b|}) = \frac{2\pi}{|\pi|} = 2 , Max =|a| + c = \left| \frac{-1}{4} \right|+0= \frac{1}{4} , Min = - |a| + c = - \left| \frac{-1}{4} \right| +0 = -\frac{1}{4}\)

پ) y=πsin(-x)+1 

T=\(\ \frac{2\pi}{|b|}\) = \(\frac{2\pi}{| - 1|}\) = 2π , Max = \(|a|\) + c = \(|\pi|\)+1=π , Min = - \(|a|\) + c = - \(|\pi|\) +1 = 1-π

ت) \(y=8cos (\frac{x}{3})\)

T=\(\ \frac{2\pi}{|b|}\) = \(\frac{2\pi}{\left| \frac{1}{3} \right|}\) = 6π , Max = \(|a|\) + c = \(|8|\)+0=8 , Min = - \(|a|\) + c = - \(|8|\) +0 = -8