تقسیم و بخش پذیری-1

فصل1: تابع، درس2: تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش ­پذیری و تقسیم

جلسه هشت: بخش ­پذیری و تقسیم-1

قضیه ­ی تقسیم برای چندجمله ­ای­ ها: اگر f(x) و p(x) توابع چندجمله ­ای باشند و درجه p(x) از صفر بزرگتر باشد، آنگاه توابع چندجمله ­ای منحصر بفرد q(x) و r(x) وجود دارند به طوری که:

f(x) = p(x) q(x)+ r(x) که در آن r(x) = 0 یا درجه ­ی r(x) از درجه ­یp (x) کمتر است.

مثال: خارج قسمت و باقی­مانده ­ی تقسیم   \(2x^{4}-3x^{2}+x\) بر \(x^{2}-3x\) را به دست آورید.

نکته: اگر r(x) = 0 باشد، چندجمله ­ای f بر چندجمله ای p بخش ­پذیر است.

قضیه: باقی­مانده ­ی تقسیم چندجمله­ ای f(x) بر ax + b عبارت است از: \(r(x)=f(-\frac{b}{a})\)

مثال: اگر \(f(x)=x^{4}-16\) و p(x) = x +2، نشان دهید که f(x) بر p(x) بخش­ پذیر است.

X+2=0 → x=-2 → f(-2)=\((-2)^{4}\)-16=0

مثال: باقی­مانده­ ی تقسیم چندجمله ­ای \(x^{3}+x-2\) را بر 2x +1 به دست آورید.

\(2x+1=0 \rightarrow x=-\frac{1}{2} \rightarrow (-\frac{1}{2})^3-\frac{1}{2}-2=\frac{-1-4-16}{8}=-\frac{21}{8}\)

مثال: اگر چند جمله ای\(x^{2}+ax-2\) بر x –a بخش­ پذیر باشد، مقدار a را تعیین کنید.

\(x-a=0 \to x=a \to a^2+a^2-2=0 \to  2a^2=2 \to a^2=1\to a=-1\ , 1\)

نکته: اگر چندجمله­ ای f(x) بر x-a بخش ­پذیر باشد، آنگاه: f(a)=0