تقسیم و بخش پذیری-۲

فصل1: تابع، درس2: تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش­ پذیری و تقسیم

جلسه نه: بخش ­پذیری و تقسیم-2

اتحاد چاق و لاغر: اتحاد زیر معروف به اتحاد چاق و لاغر است:

\(x^{3}-a^{3}=(x-a)(x^{2}+ax+a^{2})\)

تعمیم اتحاد چاق و لاغر: اتحاد زیر به ازای هر عدد طبیعی برای n، برقرار است.

\[x^n - a^n = (x - a) (x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + ... + a^{n-2}x + a^{n-1})\]
\[x^4 - a^4 = (x - a) (x^3 + ax^2 + a^2x + a^3)\]

مثال: چندجمله ­ای­ های \(x^{5}-1\) و \(x^{6}-64\) را به کمک اتحاد بالا تجزیه کنید.

\[x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)\]
\[x^6-64=x^6-2^6=(x-2)(x^5+2x^4+4x^3+8x^2+16x+32)\]
نکته: در اتحاد بالا اگر n زوج باشد می توان عامل x+a ایجاد کرد:

\[x^n-a^n = (x+a)(x^{n-1} -ax^{n-2} +a^2x^{n-3}-...+a^{n-2}x-a^{n-1})\]

مثال: چندجمله ­ای \(x^{4}-16\) را طوری تجزیه کنید که x +2 یک عامل آن باشد.

\(x^{4}-16=x^{4}-2^{4}=(x+2)(x^{3}-2x^{2}+4x-8)\)

نکته: اتحاد زیر، اگر n فرد باشد برقرار است:

\[x^n + a^n = (x+a)(x^{n-1} - ax^{n-2} + a^2x^{n-3} - ... - a^{n-2}x + a^{n-1})\]

نکته: \(x^{n}+a^{n}\) فقط در صورتی که n فرد باشد، قابل تجزیه است.

مثال: به کمک این اتحاد، چندجمله ­ای \(x^{5}+1\) را تجزیه کنید.

\[x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)\]