تانژانت

فصل2: مثلثات، درس1: تناوب و تانژانت

جلسه دوازده: تانژانت

معرفی تانژانت

محور تانژانت، خطی موازی محور سینوس­ ها است که از نقطه­ ی \((1,0)\) عبور می ­کند. در دایره ­ی مثلثاتی اگر زاویه ­ی \(\propto\) را در ربع یک رسم کنیم و آن را امتداد دهیم تا محور تانژانت را قطع کند، مقدار تانژانت زاویه ­ی \(\propto\) به دست می­ آید، که مقداری مثبت است. اگر زاویه ­ی \(\propto\) را در ربع سه رسم کنیم، به صورت زیر امتداد می­ دهیم تا محور تانژانت را قطع کند، مقدار تانژانت زاویه ­ی \(\propto\) به دست می ­آید، که مقداری مثبت است.

اگر زاویه ­ی \(\propto\) را در ربع دو رسم کنیم و آن را به صورت زیر امتداد دهیم تا محور تانژانت را قطع کند، مقدار تانژانت زاویه­ ی \(\propto\) به دست می ­آید، که مقداری منفی است. اگر زاویه ­ی \(\propto\) را در ربع چهار رسم کنیم، و امتداد ­دهیم تا محور تانژانت را قطع کند، مقدار تانژانت زاویه ­ی \(\propto\) به دست می ­آید، که مقداری منفی است.

تابع تانژانت

برای رسم تابع تانژانت، مقادیر مختلف را در 4 ناحیه برای \(\propto\) اختیار کرده و تانژانت آن را محاسبه می­ کنیم. \(\propto\) هر عددی را می ­تواند اختیار کند به جز مضارب فرد \(\frac{\pi}{2}\) ، چون در این مقادیر، مقدار تانژانت \(\propto\) تعریف نشده است. پس دامنه ­ی تابع y=tanx به صورت زیر تعریف می ­شود:

\(\left. \ ⦃x \right|x\mathbb{\in R,}x \neq \frac{(2k - 1)\pi}{2},k \in \mathbb{z}⦄\) یا \(\left. \ ⦃x \right|x\mathbb{\in R,}x \neq k\pi + \frac{\pi}{2},k \in \mathbb{z⦄}\)

برد این تابع مجموعه ­ی اعداد حقیقی است. نمودار این تابع به شکل زیر است:

نکته ­ی 1: تابع در فواصل π تکرار می­ شود و دوره ­ی تناوب آن π است.

نکته­ ی 2: تابع تانژانت در کل دامنه ­اش غیریکنوا است و در فواصلی که تعریف شده است، اکیدا صعودی است. و در هر ربع دایره ­ی مثلثاتی، مقادیر تانژانت با افزایش زاویه، افزایشی است.

نکته­ ی3: مقادیر تانژانت در ربع 1  و 3 مثبت و در بازه ­ی \((0,+\infty)\) و در ربع  2 و 4 منفی و در بازه­ ی \((-\infty,0)\) قرار دارد.

مقایسه­ ی tanx و sinx 

در ربع 2 تانژانت منفی و سینوس مثبت است. پس sinx > tanx . در ربع 3 تانژانت مثبت و سینوس منفی است. پس sinx < tanx . ربع 1 و 4 را در شکل ­های زیر بررسی می ­کنیم: