تابع مشتق-۳

فصل4: مشتق، درس2: مشتق ­پذیری و پیوستگی

جلسه­ ی بیست ­و شش: تابع مشتق قسمت سوم

مشتق توابع مثلثاتی: توابع سینوس و کسینوس مشتق ­پذیرند و مشتق آن­ها به صورت زیر محاسبه می­شود:

\[f(x) = sinx \rightarrow f^{'}(x) = cosx\ ,\ f(x) = cosx \rightarrow f^{'}(x) = - sinx \]

اثبات:

\[f(x) = sinx \rightarrow f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin(x + h) - sinx}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin{xcosh + sinhcosx} - sinx}{h}\]

\[\underset{h \rightarrow 0}{= \lim}\frac{\sin{x(cosh - 1) + sinhcosx}}{h} = sinx\lim_{h \rightarrow 0}\frac{cosh - 1}{h} + cosx\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sinh}{h} = sinx \times 0 + cosx \times 1 = cosx\]

نکته: از حسابان1 به یاد داریم که:

\[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{cosh - 1}{h} = 0\ و\ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sinh}{h} = 1\]

\[f(x) = cosx \rightarrow f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\cos(x + h) - cosx}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{cosxcosh - sinxsinh - cosx}{h}\]

\[\underset{\ \ \ \ \ \ h \rightarrow 0}{= lim}\frac{cosx(cosh - 1) - sinxsinh}{h} = cosx\lim_{h \rightarrow 0}\frac{cosh - 1}{h} - \sin x\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sinh}{h} = \cos x \times 0 - sinx \times 1 = - sinx\]

مثال: مشتق تابع تانژانت را به دست آورید.

\[f(x) = tanx \rightarrow f(x) = \frac{sinx}{cosx} \rightarrow f^{'}(x) = \frac{cosx(cosx) - ( - sinx)(\sin x)}{({cosx)}^{2}} = \frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{\cos^{2}x}{\cos^{2}x} + \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} = 1 + \tan^{2}x\]

مثال: مشتق توابع زیر را به دست آورید. (به ساده کردن نیازی نیست)

\[f(x) = sinxtanx \rightarrow f^{'}(x) = (cosx)(tanx) + (sinx)(1 + \tan^{2}x)\]

\[(f \times g)^{'}(x) = f^{'}(x).g(x) + g^{'}(x).f(x)\]

\[g(x) = \frac{5cosx}{1 - sinx} \rightarrow g^{'}(x) = \frac{( - 5sinx)(1 - sinx) - ( - cosx)(5cosx)}{{(1 - sinx)}^{2}}\]

\[\left( \frac{f}{g} \right)^{'}(x) = \frac{f^{'}(x).g(x) - g^{'}(x).f(x)}{{(g(x))}^{2}}\]

مشتق تابع مرکب-قاعده ­ی زنجیره­ای: مشتق تابع مرکب به صورت زیر محاسبه می­شود:

\[fog(x) = f\left( g(x) \right) \rightarrow \left( fog(x) \right)^{'} = \left( f\left( g(x) \right) \right)^{'} = g^{'}(x).f^{'}(g(x))\]

به طور کلی اگر f تابعی بر حسب u و u تابعی از x باشد:

\[y = f(u) \rightarrow y^{'} = u^{'}.f^{'}(u)\]

مثال: مشتق تابع \(h(x) = {(x^{2} + 3x + 1)}^{7}\) را به دست آورید.

\[f(x) = x^{7}\ ,\ \ g(x) = x^{2} + 3x + 1 \rightarrow h(x) = f\left( g(x) \right) \rightarrow h^{'}(x) = g^{'}(x).f^{'}(g(x)) \]

\[{f^{'}(x) = 7x^{6}\ ,\ g^{'}(x) = 2x + 3\ \rightarrow h}^{'}(x) = (2x + 3)(7){(x^{2} + 3x + 1)}^{6} \]

\[\ یا\ x^{2} + 3x + 1 = u \rightarrow h(x) = u^{7} \rightarrow h^{'}(x) = 7u^{'}u^{6} = 7(2x + 3){(x^{2} + 3x + 1)}^{6}\]

مثال: مشتق تابع \(y = \sin^{2}x\) را به دست آورید.

\[sinx = u \rightarrow y = u^{2} \rightarrow y^{'} = {2u}^{'}u = 2cosxsinx\]

مثال: مشتق توابع زیر را به دست آورید. (به ساده کردن نیازی نیست)

\[f(x) = \left( x^{2} + 1 \right)^{3}(5x - 1)\]

\[(\text{ضرب دو تابع})^{'} = (\text{مشتق تابع اول})(\text{تابع دوم}) + (\text{تابع اول})(\text{مشتق تابع دوم})\]

\[f^{'}(x) = 3(2x)\left( x^{2} + 1 \right)^{2}(5x - 1) + {5\left( x^{2} + 1 \right)}^{3}\]

\[f(x) = \cos^{3}x\]

\[\cos x = u \rightarrow f(x) = u^{3} \rightarrow 3u^{'}u^{2} \rightarrow f^{'}(x) = - 3sinx\cos^{2}x\]

\[f(x) = \sin(3x^{2} + 5)\]

\[f(x) = sinu \rightarrow f^{'}(x) = u^{'}cosu = 6xcos(3x^{2} + 5)\]