تابع مشتق-۲

فصل4: مشتق، درس2: مشتق ­پذیری و پیوستگی

جلسه ­ی بیست­ و پنج: تابع مشتق قسمت دوم

اگر توابع f,g در x=a مشتق­ پذیر باشند، آنگاه توابع kf , k\(\in \mathbb{Z}\)، f\(\pm g\) ، f×g ، \(\frac{f}{g}\ ,\ g(a) \neq 0\) هم مشتق­پذیرند و داریم:

\[{(kf)}^{'}(a) = {kf}^{'}(a) \rightarrow {(\text{عدد} \times \text{تابع})}^{'} = عدد \times {(تابع)}^{'}\]

\[(f \pm g)^{'}(a) = f^{'}(a) \pm g^{'}(a)\ \rightarrow \ {(\text{مجموع دو تایع})}^{'} = {(\text{تابع اول})}^{'} + {(\text{تابع دوم})}^{'}\]

\[(f \times g)^{'}(a) = f^{'}(a).g(a) + g^{'}(a).f(a)\]

\[(\text{ضرب دو تابع})^{'} = (\text{مشتق تابع اول})(\text{تابع دوم}) + (\text{تابع اول})(\text{مشتق تابع دوم})\]

\[\left( \frac{f}{g} \right)^{'}(a) = \frac{f^{'}(a).g(a) - g^{'}(a).f(a)}{{(g(a))}^{2}}\]

\[(\text{تقسیم دو تابع})^{'} = \frac{(\text{مشتق صورت} \times مخرج) - (\text{مشتق مخرج} \times صورت)}{{(مخرج)}^{2}}\]

مثال: اگر تابع f,g مشتق ­پذیر باشند. و \(f^{'}(2) = 5,\ f(2) = 3\) \(g^{'}(2) = - 6,\ g(2) = 8\) مقادیر \((f.g)^{'}(2)\) و \(\left( \frac{f}{g} \right)^{'}(a)\) را محاسبه کنید.

\[(f.g)^{'}(2) = f^{'}(2).g(2) + g^{'}(2).f(2) = 5 \times 8 + ( - 6) \times 3 = 22\]

\[\left( \frac{f}{g} \right)^{'}(2) = \frac{f^{'}(2).g(2) - g^{'}(2).f(2)}{{(g(2))}^{2}} = \frac{40 - ( - 18)}{64} = \frac{58}{64}\]

مثال: مشتق توابع زیر را به دست آورید. (به ساده کردن نیازی نیست)

\[f(x) = - \frac{2}{3}\ x^{4} \rightarrow f^{'}(x) = - \frac{2}{3}\ (4x^{3})\]

\[{\ راهنمایی:\ (kf)}^{'}(x) = {kf}^{'}(x)\]

\[g(x) = 5\ x^{4} + 4\ x^{3} - \sqrt{2}x + 1 \rightarrow g^{'}(x) = 20x^{3} + 12x^{2} - \sqrt{2}\]

\[{\ راهنمایی:\ (f \pm g)}^{'}(x) = f^{'}(x) \pm g^{'}(x)\]

\[h(x) = \left( 2\ x^{3} + 1 \right)\left( - \ x^{2} + 7x - 2 \right) \rightarrow \ h^{'}(x) = 6x^{2}\left( - \ x^{2} + 7x - 2 \right) + ( - 2x + 7)\left( 2\ x^{3} + 1 \right)\]

\[(f \times g)^{'}(x) = f^{'}(x).g(x) + g^{'}(x).f(x)\]

\[t(x) = \frac{x^{2} - 4}{3x + 1} \rightarrow t^{'}(x) = \frac{2x(3x + 1) - 3(x^{2} - 4)}{{(3x + 1)}^{2}}\]

\[\left( \frac{f}{g} \right)^{'}(x) = \frac{f^{'}(x).g(x) - g^{'}(x).f(x)}{{(g(x))}^{2}}\]

مثال: مشتق توابع زیر را به دست آورید.

\[\frac{1}{x - 4}\ \rightarrow تقسیم \rightarrow \ {(\frac{1}{x - 4})}^{'} = \frac{-1}{{(x - 4)}^{2}}\]

\[\sqrt{x}\left( 3x^{2} + 5 \right) \rightarrow ضرب \rightarrow \left( \sqrt{x}\left( 3x^{2} + 5 \right) \right)^{'} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\left( 3x^{2} + 5 \right) + \sqrt{x}(6x)\]

\[\frac{x}{2x^{2} + x - 1} \rightarrow تقسیم \rightarrow \ {(\frac{x}{2x^{2} + x - 1})}^{'} = \frac{1(2x^{2} + x - 1) - (4x + 1)x}{{(2x^{2} + x - 1)}^{2}}\]