تابع مشتق-۱

فصل4: مشتق، درس2: مشتق ­پذیری و پیوستگی

جلسه­ ی بیست­ و چهار: تابع مشتق قسمت اول

برای به دست آوردن تابع مشتق یک تابع، از تعریف مشتق استفاده می­کنیم:

\[\underset{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h \rightarrow 0}{f^{'}(x) = \lim}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

مثال: تابع مشتق تابع \(f(x) = x^{2}\) را به دست آورید. \(f^{'}(3)\) را به دو روش محاسبه کنید.

\[\underset{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h \rightarrow 0}{f^{'}(x) = \lim}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{x^{2} + 2xh + h^{2} - x^{2}}{h} \]

\[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h(2x + h)}{h} = 2x \rightarrow f^{'}(x) = 2x \rightarrow f^{'}(3) = 6\]

\[f^{'}(3) = \lim_{x \rightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = \lim_{x \rightarrow 3}\frac{x^{2} - 9}{x - 3} = \lim_{x \rightarrow 3}\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = 6\]

مثال: تابع مشتق و دامنه ­ی آن را در تابع \(f(x) = \frac{1}{x}\) به دست آورید.

\[\underset{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h \rightarrow 0}{f^{'}(x) = \lim}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{x - x - h}{x(x + h)}}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{-1}{x(x + h)} = \frac{-1}{x^{2}}\]

\[x^{2} = 0 \rightarrow x = 0 \rightarrow دامنه\mathbb{\rightarrow R} - \{ 0\}\]

مثال: تابع مشتق و دامنه­ ی آن را در تابع \(f(x) =  \begin{cases} 5x\ \ \ \ \ x \neq 1 \ \\ 2\ \ \ \ \ \ \ x = 1 \end{cases}  \) به دست آورید.

\[f(1) = 2\ ,\ \underset{x \rightarrow 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{\lim f(x) = 5} \rightarrow \text{تابع ناپیوسته}\rightarrow f^{'}(1)\ \text{موجود نیست }\]\[f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{5(x + h) - 5x}{h} = 1 \rightarrow f^{'}(x) = \left\{ \begin{array}{r} 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \neq 1 \\ \text{وجود ندارد} \ \ \ x = 1 \end{array} \right.\ \ \rightarrow دامنه\mathbb{\rightarrow R} - \{ 1\}\]

مشتق برخی توابع

مشتق تابع \(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{= c}\)

\[f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(c + h) - c}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{c - c}{h} = 0\]

مشتق تابع \(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{n}}\mathbf{,\ n}\mathbb{\in Z}\)

\[f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \underset{h \rightarrow 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{\lim\frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h}} = \underset{h \rightarrow 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{\lim\frac{(x + h - x)((x + h)^{n - 1} + (x + h)^{n - 2}x + \ldots + (x + h)x^{n - 2} + x^{n - 1})}{h}} =\]

\[x^{n - 1} + \ldots + x^{n - 1} = nx^{n - 1}\]

مشتق تابع \(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{\ ,\ x > 0}\)

\[f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} \times \frac{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}\]\[ = \ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{x + h - x}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x}\mathbf{+}\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

مشتق تابع \(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{ax + b}}\mathbf{\ ,\ }\mathbf{ax + b}\mathbf{> 0}\)

\[f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{a(x + h) + b} - \sqrt{ax + b}}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt{a(x + h) + b} - \sqrt{ax + b}}{h} \times \frac{\sqrt{a(x + h) + b} + \sqrt{ax + b}}{\sqrt{a(x + h) + b} + \sqrt{ax + b}} \]\[= \ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{ax + ah + b - ax - b}{h\sqrt{a(x + h) + b} + \sqrt{ax + b}} = \frac{a}{\sqrt{ax + b}\mathbf{+}\sqrt{ax + b}} = \frac{1}{2\sqrt{ax + b}}\]

مشتق تابع \(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{x}}\mathbf{\ }\)

\[f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{h} \times \frac{\sqrt[3]{{(x + h)}^{2}} + \sqrt[3]{x(x + h)} + \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{{(x + h)}^{2}} + \sqrt[3]{x(x + h)} + \sqrt[3]{x^{2}}} \]\[= \ \underset{h \rightarrow 0}{\lim\frac{x + h - x}{h\sqrt[3]{{(x + h)}^{2}} + \sqrt[3]{x(x + h)} + \sqrt[3]{x^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x^{2}}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}\]