آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه ای تغییر

فصل4: مشتق، درس3: آهنگ متوسط و آهنگ لحظه ­ای تغییر

جلسه­ ی بیست­ و هشت: آهنگ تغییر

آهنگ تغییر: به نسبت تغییرات یک کمیت به کمیتی دیگر گفته می­شود. مانند آهنگ تغییر دما نسبت به زمان، جرم نوزاد نسبت به زمان، مسافت طی شده نسبت به زمان و ...

آهنگ تغییر متوسط: به نسبت تغییرات یک تابع به تغییرات متغیر آن تابع در یک بازه ­ی مشخص گفته می­شود. مانند تغییرات سرعت یک متحرک نسبت به زمان در بازه ­­ی 2تا5ثانیه بعد از حرکت که به آن سرعت متوسط متحرک در بازه­ ی زمانی \([2,5]\) گفته می­شود. آهنگ تغییر متوسط برای تابع f(x) در بازه­ ی \([a,b]\) به صورت زیر تعریف می­شود:\[[a,b] \text{آهنگ تغییر متوسط تابع در بازه ­ی} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

آهنگ تغییر لحظه ­ای: با توجه به تعریف مشتق اگر فاصله­ ی a,b را در تعریف بالا صفر کنیم و دو نقطه بر هم منطبق شوند، آهنگ تغییر لحظه ­ای تابع در یک نقطه به دست می ­آید. مانند تغییرات سرعت یک متحرک در یک زمان مشخص مانند ثانیه سوم بعد از حرکت که به آن سرعت لحظه­ ای متحرک در ثانیه ­ی سوم حرکت گفته می­شود. آهنگ تغییر لحظه­ ای برای تابع f(x) در x=a به صورت f’(a) تعریف می­شود.

نکته: از نظر هندسی، آهنگ تغییر متوسط همان شیب خط قاطع گذرنده از نقاطی به طول a,b روی تابع است و آهنگ تغییر لحظه ­ای همان شیب خط مماس بر نمودار تابع در نقطه ­ای به طول c روی تابع است.

مثال: خودرویی در امتداد خط راست طبق معادله­ ی \(d(t) = - 5t^{2} + 20t\) حرکت می­کند که در آن \(0 \leq t \leq 5\) بر حسب ثانیه است. الف) سرعت متوسط خودرو را در بازه ­ی زمانی \([1,2]\) به دست آورید. ب) سرعت لحظه­ ای در t=1 چقدر است؟

\[d(5) = - 5(5)^{2} + 20(5) = - 25\ ,\ d(0) = 0 + 0 = 0 \]\[ \text{[0,5]الف)  }\text{آهنگ تغییر متوسط تابع در بازه ­ی} = \frac{d(5) - d(0)}{5 - 0} = \frac{25 - 0}{5} = 5 \]

خودرو در هر ثانیه به طور متوسط 5 متر را طی می­کند.

ب) آهنگ تغییر لحظه ­ای تابع در (t=1): d’(1)\[d^{'}(t) = - 10t + 20 \rightarrow d^{'}(1) = - 10 + 20 = 10\]سرعت خودرو در ثانیه ­ی اول حرکت 10 متر بر ثانیه است.

مثال: تابع\(f(x) = 7\sqrt{x} + 50\) قد متوسط کودکان را بر حسب سانتی ­متر تا حدود 60 ماهگی نشان می­دهد.

الف) آهنگ متوسط رشد در بازه­ی \([0,25]\) چقدر است؟ \[f(25) = 7\sqrt{25} + 50 = 7 \times 5 + 50 = 85\ ,\ f(0) = 7\sqrt{0} + 50 = 50 \]\[ [0,25] \text{آهنگ تغییر متوسط تابع در بازه ­ی} = \frac{f(25) - f(0)}{25 - 0} = \frac{85 - 50}{25} = \frac{7}{5} = 1/4\]قد کودک به طور متوسط در هر ماه 4/1 سانتی ­متر رشد کرده است.

ب) آهنگ لحظه­ ای تغییر قد کودک را در 25 و 49 ماهگی مقایسه کنید. کدام یک بیشتر است؟

آهنگ تغییر لحظه­ ای تابع در (x=25): f’(25) و در(x=49): f’(49)\[[f^{'}(x) = \frac{7}{2\sqrt{x}} \rightarrow f^{'}(25) = \frac{7}{2\sqrt{25}} = \frac{7}{10}\ ,\ f^{'}(49) = \frac{7}{2\sqrt{49}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}]\]قد کودک در ماه 25ام 7/0 و در ماه 49ام 5/0 سانتی ­متر رشد کرده است.

پ) اگر قد علی در 16 ماهگی 80 سانتی ­متر و در 36 ماهگی 95 سانتی ­متر باشد، آهنگ متوسط تغییر رشد او را در این فاصله حساب کنید.\[f(36) = 7\sqrt{36} + 50 = 7 \times 6 + 50 = 92\ ,\ f(16) = 7\sqrt{16} + 50 = 7 \times 4 + 50 = 78 \]\[[16,36] \text{آهنگ تغییر متوسط تابع در بازه ­ی }= \frac{f(36) - f(16)}{36 - 16} = \frac{92 - 78}{20} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}\]مثال: جسمی را از سطح زمین به طور عمودی پرتاب می­کنیم. جهت حرکت به طرف بالا را مثبت در نظر می­گیریم. فرض کنیم ارتفاع این جسم از سطح زمین در هر لحظه از معادله ­ی \(h(t) = - 5t^{2} + 40t\) به دست می­آید.

الف) سرعت جسم هنگام پرتاب و هنگام برخورد با زمین را به دست آورید.

سرعت جسم در لحظه­ ی پرتاب و لحظه ی برخورد با زمین (t=0) با هم برابر و مقدار آن برابر با h’(0) است:\[h^{'}(t) = - 10t + 40 \rightarrow h^{'}(0) = 0 + 40 = 40\]ب) سرعت متوسط جسم را در بازه ­ی زمانی \([5,8]\) به دست آورید.\[h(8) = - 5 \times 64 + 40 \times 8 = - 320 + 320 = 0\ ,\ h(5) = - 5 \times 25 + 40 \times 5 = - 125 + 200 = 75 \]\[[5,8]\text{سرعت متوسط در بازه ­ی }= \frac{f(8) - f(5)}{8 - 5} = \frac{0 - 75}{3} = - 2\]پ) لحظاتی که سرعت جسم برابر با 35 و -35 متر برثانیه است.\[h^{'}(t) = - 10t + 40 = 35 \rightarrow 10t = 5 \rightarrow t = 0/5s\ ,\ h^{'}(t) = - 10t + 40 = - 35 \rightarrow 10t = 75 \rightarrow t = 7/5s\]