فصل4: مشتق، درس3: آهنگ متوسط و آهنگ لحظه ای تغییر
جلسه ی بیست و هشت: آهنگ تغییر
آهنگ تغییر: به نسبت تغییرات یک کمیت به کمیتی دیگر گفته میشود. مانند آهنگ تغییر دما نسبت به زمان، جرم نوزاد نسبت به زمان، مسافت طی شده نسبت به زمان و ...
آهنگ تغییر متوسط: به نسبت تغییرات یک تابع به تغییرات متغیر آن تابع در یک بازه ی مشخص گفته میشود. مانند تغییرات سرعت یک متحرک نسبت به زمان در بازه ی 2تا5ثانیه بعد از حرکت که به آن سرعت متوسط متحرک در بازه ی زمانی \([2,5]\) گفته میشود. آهنگ تغییر متوسط برای تابع f(x) در بازه ی \([a,b]\) به صورت زیر تعریف میشود:\[[a,b] \text{آهنگ تغییر متوسط تابع در بازه ی} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]
آهنگ تغییر لحظه ای: با توجه به تعریف مشتق اگر فاصله ی a,b را در تعریف بالا صفر کنیم و دو نقطه بر هم منطبق شوند، آهنگ تغییر لحظه ای تابع در یک نقطه به دست می آید. مانند تغییرات سرعت یک متحرک در یک زمان مشخص مانند ثانیه سوم بعد از حرکت که به آن سرعت لحظه ای متحرک در ثانیه ی سوم حرکت گفته میشود. آهنگ تغییر لحظه ای برای تابع f(x) در x=a به صورت f’(a) تعریف میشود.
نکته: از نظر هندسی، آهنگ تغییر متوسط همان شیب خط قاطع گذرنده از نقاطی به طول a,b روی تابع است و آهنگ تغییر لحظه ای همان شیب خط مماس بر نمودار تابع در نقطه ای به طول c روی تابع است.

مثال: خودرویی در امتداد خط راست طبق معادله ی \(d(t) = - 5t^{2} + 20t\) حرکت میکند که در آن \(0 \leq t \leq 5\) بر حسب ثانیه است. الف) سرعت متوسط خودرو را در بازه ی زمانی \([1,2]\) به دست آورید. ب) سرعت لحظه ای در t=1 چقدر است؟
\[d(5) = - 5(5)^{2} + 20(5) = - 25\ ,\ d(0) = 0 + 0 = 0 \]\[ \text{[0,5]الف) }\text{آهنگ تغییر متوسط تابع در بازه ی} = \frac{d(5) - d(0)}{5 - 0} = \frac{25 - 0}{5} = 5 \]
خودرو در هر ثانیه به طور متوسط 5 متر را طی میکند.
ب) آهنگ تغییر لحظه ای تابع در (t=1): d’(1)\[d^{'}(t) = - 10t + 20 \rightarrow d^{'}(1) = - 10 + 20 = 10\]سرعت خودرو در ثانیه ی اول حرکت 10 متر بر ثانیه است.
مثال: تابع\(f(x) = 7\sqrt{x} + 50\) قد متوسط کودکان را بر حسب سانتی متر تا حدود 60 ماهگی نشان میدهد.
الف) آهنگ متوسط رشد در بازهی \([0,25]\) چقدر است؟ \[f(25) = 7\sqrt{25} + 50 = 7 \times 5 + 50 = 85\ ,\ f(0) = 7\sqrt{0} + 50 = 50 \]\[ [0,25] \text{آهنگ تغییر متوسط تابع در بازه ی} = \frac{f(25) - f(0)}{25 - 0} = \frac{85 - 50}{25} = \frac{7}{5} = 1/4\]قد کودک به طور متوسط در هر ماه 4/1 سانتی متر رشد کرده است.
ب) آهنگ لحظه ای تغییر قد کودک را در 25 و 49 ماهگی مقایسه کنید. کدام یک بیشتر است؟
آهنگ تغییر لحظه ای تابع در (x=25): f’(25) و در(x=49): f’(49)\[[f^{'}(x) = \frac{7}{2\sqrt{x}} \rightarrow f^{'}(25) = \frac{7}{2\sqrt{25}} = \frac{7}{10}\ ,\ f^{'}(49) = \frac{7}{2\sqrt{49}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}]\]قد کودک در ماه 25ام 7/0 و در ماه 49ام 5/0 سانتی متر رشد کرده است.
پ) اگر قد علی در 16 ماهگی 80 سانتی متر و در 36 ماهگی 95 سانتی متر باشد، آهنگ متوسط تغییر رشد او را در این فاصله حساب کنید.\[f(36) = 7\sqrt{36} + 50 = 7 \times 6 + 50 = 92\ ,\ f(16) = 7\sqrt{16} + 50 = 7 \times 4 + 50 = 78 \]\[[16,36] \text{آهنگ تغییر متوسط تابع در بازه ی }= \frac{f(36) - f(16)}{36 - 16} = \frac{92 - 78}{20} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}\]مثال: جسمی را از سطح زمین به طور عمودی پرتاب میکنیم. جهت حرکت به طرف بالا را مثبت در نظر میگیریم. فرض کنیم ارتفاع این جسم از سطح زمین در هر لحظه از معادله ی \(h(t) = - 5t^{2} + 40t\) به دست میآید.
الف) سرعت جسم هنگام پرتاب و هنگام برخورد با زمین را به دست آورید.
سرعت جسم در لحظه ی پرتاب و لحظه ی برخورد با زمین (t=0) با هم برابر و مقدار آن برابر با h’(0) است:\[h^{'}(t) = - 10t + 40 \rightarrow h^{'}(0) = 0 + 40 = 40\]ب) سرعت متوسط جسم را در بازه ی زمانی \([5,8]\) به دست آورید.\[h(8) = - 5 \times 64 + 40 \times 8 = - 320 + 320 = 0\ ,\ h(5) = - 5 \times 25 + 40 \times 5 = - 125 + 200 = 75 \]\[[5,8]\text{سرعت متوسط در بازه ی }= \frac{f(8) - f(5)}{8 - 5} = \frac{0 - 75}{3} = - 2\]پ) لحظاتی که سرعت جسم برابر با 35 و -35 متر برثانیه است.\[h^{'}(t) = - 10t + 40 = 35 \rightarrow 10t = 5 \rightarrow t = 0/5s\ ,\ h^{'}(t) = - 10t + 40 = - 35 \rightarrow 10t = 75 \rightarrow t = 7/5s\]